4. 状態空間¶
4.1. 応答関数から状態方程式へ¶
応答関数がproperであれば、状態方程式に書き換えることが可能。
(4.1)¶\[ \begin{align}\begin{aligned}\frac{d \vec{X}}{d t} = \mathfrak{A} \vec{X} + \mathfrak{B} \vec{u}\\\vec{y} = \mathfrak{C} \vec{x} + \mathfrak{D} \vec{u}\end{aligned}\end{align} \]
4.2. 解の積分表示¶
状態方程式
(4.2)¶\[\frac{d \vec{X}}{d t} = \mathfrak{A} \vec{X} + \mathfrak{B} \vec{u}\]
の形式的な解は、初期条件を\(\vec{X(0)}=\vec{X_0}\)として、
(4.3)¶\[\vec{X(t)} = e^{\mathfrak{A} t} \vec{X_0} + \int_{0}^t d \tau e^{\mathfrak{A}\left(t-\tau\right)} \mathfrak{B} \vec{u(\tau)}\]
と書ける。実際、
(4.4)¶\[\begin{split}\frac{d \vec{X(t)}}{d t} &= \mathfrak{A} e^{\mathfrak{A} t} \vec{X_0}
+ \mathfrak{A} \int_{0}^t d \tau e^{\mathfrak{A}(t-\tau)} \mathfrak{B} \vec{u(\tau)} + \mathfrak{B} \vec{u(t)} \\
&= \mathfrak{A} \vec{X(t)} + \mathfrak{B} \vec{u(t)}\end{split}\]
である。
4.3. 離散系の状態方程式など¶
離散系の状態方程式を連続系のそれ、 Eq.(4.2) 、に習って、
(4.5)¶\[\begin{split}\vec{X_n} &= \mathbb{A_d} \vec{X_{n-1}} + \mathbb{B_d} \vec{u_{n}}\\
\\
\vec{Y_n} &= \mathbb{C_d} \vec{X_{n}} + \mathbb{D_d} \vec{u_{n}} \\\end{split}\]
とする[1]。
| [1] | \(u\)の添え字を\(n\)とするか、\(n-1\)とするかは、よく考える必要がある。 |
連続系の状態方程式の形式解 Eq.(4.3) を使うと、
(4.6)¶\[\begin{split}\vec{X(t+\Delta t)} &= e^{\mathfrak{A}\left( t+\Delta t\right)} \vec{X_0}
+ \int_{0}^{t+\Delta t} d \tau e^{\mathfrak{A}\left(t+\Delta t-\tau\right)} \mathfrak{B} \vec{u(\tau)}\\
\\
& = e^{\mathfrak{A} \Delta t} \left( e^{\mathfrak{A} t} \vec{X_0} + \int_{0}^{t+\Delta t} d \tau e^{\mathfrak{A}\left(t-\tau\right)} \mathfrak{B} \vec{u(\tau)}\right)\\
\\
& = e^{\mathfrak{A} \Delta t} \left(
e^{\mathfrak{A} t} \vec{X_0} + \int_{0}^{t} d \tau e^{\mathfrak{A}\left(t-\tau\right)} \mathfrak{B} \vec{u(\tau)} \right) + \int_{0}^{\Delta t} d \tau e^{\mathfrak{A}\left(\Delta t -\tau\right)} \mathfrak{B} u(t+\tau)\\
\\
& = e^{\mathfrak{A} \Delta t} \vec{X(t)}
+ \int_{0}^{\Delta t} d \tau e^{\mathfrak{A}\left(\Delta t -\tau\right)} \mathfrak{B} u(t+\tau)\\\end{split}\]
であるから、
(4.7)¶\[\mathbb{A} = e^{\mathfrak{A} \Delta t}\]
であることがわかる、離散系の制御では、:math:` t + Dleta t > tau > t`で\(u(\tau)=u(t)\)として良いから、
(4.8)¶\[\mathbb{B} = \int_{0}^{\Delta t} d \tau e^{\mathfrak{A}\left(\Delta t -\tau\right)} \mathfrak{B}\]
となる。
4.4. digital filterと状態方程式¶
digital filterは、入力\(x_n\)と出力\(y_n\)が
(4.9)¶\[y_n = \Sigma_{k=0}^{M} c_k x_{n-k} + \Sigma_{j=1}^{N} d_j y_{n-j}\]
で定義される。\(N \ge M\)の場合はプロパーな関係となって、状態方程式で表現することが可能。
4.5. PID 制御¶
4.5.1. 不完全微分¶
(4.10)¶\[\begin{split}\begin{array}{c}
A = -\frac{1}{T_D}, B = 1, C= -\frac{1}{{T_D}^2}, D= \frac{1}{T_D}\\
\text{の時}\\
y = \frac{s}{T_D s +1}\\
\end{array}\end{split}\]
これを不完全微分と呼ぶ。\(T_D\)に比べゆっくりとしている間は微分の近似になっている。
信号の微分はプロパーな応答として表現できない(状態方程式では表現できない）ことから、 不完全微分を実現では使う必要がある[2]。
| [2] | PID制御は少なくとも四つのパラメータ\(k_p, k_i, k_d, \text{and} T_D\)を含んでいることになる。 |