伝達関数から状態方程式への変換について¶
伝達関数の考え方は、入力 $u$ と出力 $y$ の関係は、微分方程式::
$$
\begin{cases}
y^{(N)} &= - \Sigma_{k=0}^{N-1} a_k y^{(k)} + \Sigma_{k=0}^{M} b_k u^{(k)} \\
y^{(k)} &\equiv \frac{d^k y}{d t^k}\quad\text{for}\; k \ge 1,\\
y^{(0)} &\equiv y\\
\end{cases}
$$
によって記述されるということです。ラプラス変換を行うと、
$$
Y(s) = \frac{\Sigma_{k=0}^{M} b_k s^k}{\Sigma_{k=0}^{N} a_k s^k} U(s)
$$
となります ( $a_N \equiv 1$ とします)。
この微分方程式を状態変数
$X=\begin{pmatrix} x_0\\x_1\\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}$
の状態方程式に書き換えることができれば、システムを伝達関数の記述から、状態方程式に書き換えることができたということになります。
よく知られたように、システムがプロパー、すなわち 条件：
$N \ge M$
が成り立つ、であればこれは可能です。
実際、この場合には、等価な状態方程式は、
$$
\frac{d \vec{X}}{d t} = A \vec{X} + B {u} \\
{y} = {C} \vec{X} + {D} {u}
$$
となります。(入力 $u$ および 出力$y$はスカラーであることに注意）
状態
$X$
は、
$$
\vec{X} =\begin{pmatrix} x \\ x^{(1)}\\ x^{(2)}\\\vdots\\x^{(N-1)}\end{pmatrix}
$$
となっています。
ここで、
$A,B,C,D$
を
$$
{A} = \begin{pmatrix} 0,& 1,& 0,& 0,& \cdots&, 0\\
0,& 0,& 1,& 0,& \cdots &, 0\\
\vdots& \vdots& \vdots& \vdots& \ddots& \vdots\\
0,& 0,& 0,& 0,& \cdots&, 1\\
-a_0,& -a_1,& -a_2,& -a_3,& \cdots&, -a_{N-1} \\
\end{pmatrix}\\
\\
{B} = \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ \vdots \\ 0\\ 1\end{pmatrix} \\
{C} = \begin{pmatrix} b_0 - b_N a_0,& b_1 - b_N a_1,& \cdots, b_{N-1}-b_N a_{N-1}\end{pmatrix}\\
\\
{D} = b_N \\
$$
で定義します。 ここで、
$b_k= 0 \text{ for } N \le k \gt M$
としています。
状態方程式の第一式は、
$$
x^{(n)} = -\Sigma_{k=0}^{N-1} a_k x^{(k)} + u
$$
に帰着されます。 $a_N=1$とすれば、
$$
\Sigma_{k=0}^{N} a_k x^{(k)} = u
$$
となります。
$$
y = \Sigma_{k=0}^{N-1}\left(b_k-b_N a_k\right)\frac{d^k x}{d t^k} + b_N u
$$
となる。両辺から
$\Sigma_{k=0}^{N} a_k \frac{d^k}{d t^k}$
を掛けて
$$
\Sigma_{k=0}^{N} a_k \frac{d^k y}{d t^k} = \Sigma_{k=0}^{N-1}\left(b_k-b_N a_k\right)\frac{d^k u}{d t^k} + b_N \Sigma_{k=0}^{N} a_k \frac{d^k u}{d t^k}\\
= \Sigma_{k=0}^{N-1}b_k\frac{d^k u}{d t^k} + b_N \frac{d^N u}{d t^N}\\
= \Sigma_{k=0}^{N}b_k\frac{d^k u}{d t^k}\\
$$
となります(
$a_N = 1$
に注意)。 このように、
$N \ge M$
であれば、伝達関数表示と状態方程式表示が等価であることが明示的に示されます。
