11. 電磁場のゲージ変換とゲージ不変性

\newcommand{\vec3}[1]{\vec{\mathbf{#1}}}

11.1. 復習:ローレンツ共変形式の Maxwell方程式

ローレンツ変換に対して共変な形式のMaxwell 方程式を再度まとめておきます。 \(A^\mu\) は四次元のベクトルポテンシャル、　\(F_{\mu\nu}\) および \(H_{\mu\nu}\) は電磁場を表す二階のテンソル、 であって、真空中では、

(11.1)\[H_{\mu\nu} = c \varepsilon_0 F_{\mu\nu} = \frac{1}{c\mu_0} F_{\mu\nu}\]

の関係があります。

(11.2)\[\begin{split}A^\mu &= \left( \phi, c \mathbf{\vec A} \right) \\ &= \left( \phi, \mathbf{\vec A}_x, \mathbf{\vec A}_y, \mathbf{\vec A}_z \right) \\ A_\mu &= \left( \phi, -c \mathbf{\vec A} \right) \\ &= \left( \phi, -c \mathbf{\vec A}, -c \mathbf{\vec A}, -c \mathbf{\vec A} \right) \\ F_{\mu\nu} &\equiv \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu\\ \\ F_{\mu\nu} &= - F_{\nu\mu}\\ \\ j^\mu &= \left(c \rho, \vec{\mathbf j}\right), j_\mu = \left(c \rho, -\vec{\mathbf j}\right)\end{split}\]

(11.3)\[\begin{split}\partial_\mu F_{\nu\lambda} + \partial_\nu F_{\lambda\nu} + \partial_\lambda F_{\mu\nu} = 0 \\ \partial^\nu H_{\mu\nu} = - j_\mu \\ \partial^\nu H_{\nu\mu} = j_\mu\end{split}\]

真空中では、Maxwell方程式は

(11.4)\[\begin{split}F_{\mu\nu} \equiv \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu \\ \partial^\nu F_{\nu\mu}= \frac{1}{c\varepsilon_0} j_\mu = {c\mu_0} j_\mu\end{split}\]

に帰着します。

11.2. 電場・磁場の成分表示

共変な電場・磁場

(11.5)\[F_{\mu\nu} \equiv \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu\]

を成分で書き下してみると、

(11.6)\[\begin{split}F_{0k} =& \partial_0 A_k - \partial_k A_0 = \vec{\mathbf E}_k = - \nabla \phi -\frac{\partial}{\partial t} \vec{\mathbf A} \\ F_{ij} =& -c \partial_i {\mathbf A}_j + c \partial_j {\mathbf A}_i = -c \epsilon_{ijk} \vec{\mathbf B}_k = - c \nabla \times \vec{\mathbf A} \\ F^{0k} =& - F_{0k} = - \vec{\mathbf E}_k \\ F^{ij} =& F_{ij} = -c \epsilon_{ijk} \vec{\mathbf B}_k\end{split}\]

となって、共変な電磁場 \(F_{\mu\nu}\) は 3次元空間での電場 \(\vec{\mathbf E}\) および　磁束密度 \(\vec{\mathbf B}\) に対応していました。また、 \(H_{\mu\nu}\) は　3次元空間での電束密度 \(\vec{\mathbf D}\) および磁場 \(\vec{\mathbf H}\) に結び付けられています。

(11.7)\[\begin{split}H_{0k} =& c \vec{\mathbf D}_k \\ H_{ij} =& - \epsilon_{ijk}\vec{\mathbf H}_k \\ H^{0k} =& - c \vec{\mathbf D}_k \\ H^{ij} =& - \epsilon_{ijk}\mathbf{H}_k\end{split}\]

11.3. ゲージ変換

ベクトルポテンシャルを使ったこれらの電磁場に対する式は、ベクトルポテンシャルに対するゲージ変換

(11.8)\[A_\mu \rightarrow A_\mu + \partial_\mu \lambda\left(x\right)\]

に対して、不変であることが直ちにわかります。

式-11.4 の第一式を第二式に代入すると、４元のベクトルポテンシャル \(A_\mu\) は

(11.9)\[\partial_\nu \partial^\nu A_\mu - \partial_\mu \left(\partial_\nu A^\nu \right) = c \mu_0\, j_\mu\]

を満たします。ゲージ \(\lambda(x)\) をゲージ変換後の ４元ベクトルポテンシャル \(A_\mu\) が

(11.10)\[\partial_\nu A^\nu = 0\]

を満たすように選んでやると、この式は、

(11.11)\[\partial_\nu \partial^\nu A_\mu = \frac{1}{c\varepsilon_0} j_\mu\]

と四つのベクトルポテンシャルについて分離された方程式となる。 式-11.10 の条件をローレンツゲージ条件と呼びます。

また、 式-11.11 は d'Alembert演算子 \(\Box =\partial_\nu \partial^\nu = \frac{1}{c^2} \partial^2_t - \partial^2_x - \partial^2_y - \partial^2_z\) で定義すれば、

(11.12)\[\Box A_\mu = \frac{1}{c\varepsilon_0} j_\mu\]

と書くことができます。

注釈

なぜゲージ変換とよばれるのか？　いつ頃から意識されていたか？　[Rieman 幾何学:1850代に確立,一般相対性理論　1907ー16、ネーターの定理　1915-18] おそらくWeylの統一理論への試み(スケール変換＝ゲージ変換）が最初(1918) [A-4] 。結局 量子力学が発展することによって[ Heisenberg 1925, Shroedinger 1926]、 スケール変換ではなくU(1)の変換(位相の自由度)にたいするゲージ場として電磁場が理解された。

11.4. 相対論的ドップラー効果

Lorentz ゲージ条件(式-11.10)の下では、 共変なMaxwell方程式 (式-11.11) から、真空中の電磁波の方程式は

(11.13)\[\Box A_\mu = 0\]

です。この方程式は平面波の解

(11.14)\[A_\mu(x) = a_\mu e^{i k_\nu x^\nu}\]

を持ちます。ただし、 \(k_\mu k ^\mu = 0\) です。 この解は運動系から見てもやはり同形の波動方程式の解ですから、 \(k_\mu\) は共変ベクトルとして振る舞うことになります。

\(k^\mu = \left( \omega/c, k_x , k_y, k_z \right)\) とすると、 条件 \(k_\mu k ^\mu = 0\) は

(11.15)\[\omega^2/c^2 = k_x^2 + k_y^2 + k_z^2 \equiv k^2\]

と書き換えられます。

x軸方向のローレンツ変換を考えると、　\(k^\mu\) は

(11.16)\[\begin{split}k_x' &= \gamma\left(k_x - \beta \omega/c\right)\\ \omega'/c &= \gamma\left(\omega/c - \beta k_x \right)\\ k_y' &= k_y \\ k_z' &= k_z \\ \gamma \equiv \frac{1}{\sqrt{1- \beta^2}}\\ \beta \equiv \frac{v}{c}\end{split}\]

と変換される。いま、 \(x\) 方向と \(\vec{\mathbf k}\) 方向との角度を \(\theta\) , \(x'\) 方向と \(\vec{\mathbf k}'\) 方向との角度を \(\theta'\) ,とすると

(11.17)\[\begin{split}k_x =& \omega/c \cos\theta, k_y=\omega/c \sin\theta, k_z = 0 \\ k_x' =& \omega'/c \cos\theta', k_y'=\omega'/c \sin\theta', k_z' = 0\end{split}\]

これより、

(11.18)\[\begin{split}\omega' \cos\theta' = \gamma\omega\left(\cos\theta - \beta \right) \\ \omega' = \gamma\left(1 - \beta \cos\theta\right) \omega \\ \omega' \sin\theta' = \omega\sin\theta\end{split}\]

従って、

(11.19)\[\tan\theta' = \frac{1}{\gamma}\frac{\sin\theta}{\cos\theta - \beta }\]

これは相対論的なドップラー効果を与えている。 ここで、特に \(\theta = \pi/2\) の場合を考えると さらに

(11.20)\[\begin{split}\omega' &= \gamma \omega \\ \cos\theta' &= - \beta \\ \sin\theta' &= 1/\gamma\end{split}\]

であることに注意する。すなわち相対論効果により、真横から来る電磁波についてもドップラー効果による周波数が変化する。

11.5. 完全反対称テンソル

完全反対称テンソル \(\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma}\) は

(11.21)\[\begin{split}\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma} \equiv \begin{cases} 1 & \text{ even permutation } \\ -1 & \text{ otherwise } \end{cases}\end{split}\]

で定義されている。　この定義から、ローレンツ変換 \({a^\mu}_\nu\) にたいして、 \(\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma}\) は

(11.22)\[\begin{split}\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma} \rightarrow {a^\mu}_{\mu'}{a^\nu}_{\nu'}{a^\rho}_{\rho'}{a^\sigma}_{\sigma'}`\epsilon_{{\mu'}{\nu'}{\rho'}{\sigma'}}\\ = \det{a} \epsilon_{\mu\nu\rho\sigma} =\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma}\end{split}\]

と４次元テンソルとして振る舞うことがわかる。

ここで、次の量 \(\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma} F^{\mu\nu} F^{\rho\sigma}\) を考えると、この量はローレンツスカラーすなわち座標変換によって変化しない量であることがわかる。この量を電磁場で書き下すと、

(11.23)\[\begin{split}\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma} F^{\mu\nu} F^{\rho\sigma} &= 4 \epsilon_{0ijk} F^{0i} F^{jk} \\ &= 8 \vec{\mathbf E}_i c \vec{\mathbf B}_i = 8 \vec{\mathbf E}\cdotp\vec{\mathbf B}\end{split}\]

である。つまり \(\vec{\mathbf E}\cdotp\vec{\mathbf B}\) は慣性系の取り方に依存しないスカラー量である。特に電場と磁場がある慣性系で直交 \(\vec{\mathbf E}\cdotp\vec{\mathbf B} =0\) していれば、どの観測系（慣性系）でみても電場と磁場は直交していることがわかる。

ついでに、 \(F_{\mu\nu}\) から作られるローレンツスカラー量 \(F_{\mu\nu} F^{\mu\nu}\) を電磁場で書き表すと、

(11.24)\[\begin{split}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} &= 2 F_{0\nu}F^{0\nu} + F_{ij}F^{ij} \\ &= -2 \vec{\mathbf E}\cdotp\vec{\mathbf E} + 2 c^2 \vec{\mathbf B}\cdotp\vec{\mathbf B} \\ &=-2\left(\vec{\mathbf E}\cdotp\vec{\mathbf E} - c^2 \vec{\mathbf B}\cdotp\vec{\mathbf B}\right)\end{split}\]

11.5.1. ローレンツ群の表現とスピノル場

ローレンツ群の任意の変換は特殊ローレンツ変換, \({\mathbf\Lambda}_x\left(\beta\right)\)と３次元回転, \(\vec{\mathbf R}\left(\vec \omega \right)\), の積で書き表すことが出来る。

(11.25)\[\Lambda = \vec{\mathbf R}\left(\vec \omega_1 \right) {\mathbf\Lambda}_x\left(\beta\right) \vec{\mathbf R}\left(\vec \omega_2 \right)\]

ここで \(\vec \omega_1\) および \(\vec \omega_2\) はそれぞれ回転軸と回転角度の三つの自由度をもつ。また特殊ローレンツ変換は

慣性系の相対速度 \(v = c \beta\) の一自由度をもつ。特殊ローレンツ変換は相対速度の軸の周りの回転と可換であるから、結局ローレンツ群は六つの 自由度を持つことがわかる。これは、無限小のローレンツ変換

(11.26)\[{a^\mu}_\nu = {\delta^\mu}_\nu + {\epsilon^\mu}_\nu\]

を考えたとき、ローレンツ変換の条件式

(11.27)\[\eta_{\mu\nu} = \eta_{\lambda\sigma} {a^\lambda}_\mu {a^\sigma}_\nu\]

より

(11.28)\[\epsilon_{\mu\nu} + \epsilon_{\nu\mu} = 0\]

すなわち無限小ローレンツ変換は反対称なテンソルで表される六つの自由度を持つ。

3次元回転群はよく知られている様に、スピノル表現としてしられる2価の表現を持つ。ローレンツ群の表現はその部分群である３次元回転群の表現でもあるので、その表現はスピノルによる２価表現を含んでいる。相対的場の理論でのフェルミオンを表すデイラック場はこのスピノル表現の例である。

一般にローレンツ群 \(O(3,1)\) は二つの \(SU(2)\) に分解可能であることが知られている。\(SU(2)\) は３次元回転群 \(SO(3)\) と同形であることが 知られているから、この \(SU(2)\) の構造がスピノル表現を与える。

ローレンツ群の無限小変換は三次元回転の生成子 \(J_{ij}\) とローレンツブースト \(K_i\) で完全に記述することができる。

11.5.2. 問題(１）

K’系がK系に対して速度\(\vec{v}\)で運動している時のローレンツ変換を求めよ

(解)

ベクトル \(\vec{\mathbf x}\) を速度 \(\vec{\mathbf v}\) に対して平行な成分 \(\vec{\mathbf x}_\parallel\) と鉛直な成分 \(\vec{\mathbf x}_\perp\) に分解する。

(11.29)\[\begin{split} x_\parallel =& \vec{\mathbf x}\cdot\vec{\mathbf v}/v \\ \vec{\mathbf x}_\perp =& \vec{\mathbf x} - x_\parallel \left(\vec{\mathbf v}/v\right) \\ \vec{\mathbf x} =& \vec{\mathbf x}_\perp + \vec{\mathbf x}_\parallel \vec{\mathbf v}/v\end{split}\]

これを速度 \(\mathbf{v} = c \vec{\beta}\) の方向にローレンツ変換すると

(11.30)\[\begin{split}\vec{\mathbf x'}_\parallel =& \gamma\left( x_\parallel - \beta c t\right) \vec{\mathbf v}/v \\ \vec{\mathbf x'}_\perp =& \vec{\mathbf x}_\perp = \vec{\mathbf x} - x_\parallel\left(\vec{\mathbf v}/v\right) \\ c t ' =& \gamma\left( c t - \beta x_\parallel \right)\end{split}\]

であるから、

(11.31)\[\begin{split}\vec{\mathbf x'} = & \vec{\mathbf x'}_\parallel + \vec{\mathbf x'}_\perp \\ = & \gamma\left( x_\parallel - \beta c t\right)\vec{\mathbf v}/v + \vec{\mathbf x} - x_\parallel \left(\vec{\mathbf v}/v\right) \\ =& \vec{\mathbf x} +\left(\gamma - 1\right) \vec{\mathbf x}\cdot\vec{\mathbf v}/v^2 \left(\vec{\mathbf v}\right) - \gamma \vec{\mathbf\beta} c t \\ c t ' = & \gamma\left( c t - \beta \vec{\mathbf v}\cdot\vec{\mathbf x}/v \right)\end{split}\]

ここで、

(11.32)\[\vec{\mathbf \beta} \equiv \frac{\mathbf v}{c}\]

を使った。 ローレンツ変換の変換係数行列の形に書くと、

(11.33)\[\begin{split}{a^\mu}_\nu = \left( \begin{array}{cccc} \gamma,& -\gamma \beta_x,& -\gamma \beta_y,& -\gamma \beta_z \\ -\gamma \beta_x,& 1+(\gamma - 1) \beta_x^2/\beta^2 ,& (\gamma - 1)\beta_x \beta_y/\beta^2 ,& (\gamma - 1) \beta_x \beta_z/\beta^2 \\ -\gamma \beta_y ,& (\gamma - 1) \beta_y \beta_x/\beta^2 ,& 1+(\gamma - 1)\beta_y^2/\beta^2 ,& (\gamma - 1)\beta_y \beta_z/\beta^2 \\ -\gamma \beta_z ,& (\gamma - 1)\beta_x\beta_z/\beta^2 ,& (\gamma - 1)\beta_y\beta_z/\beta^2 ,& 1+(\gamma - 1)\beta_z^2/\beta^2 \end{array} \right)\end{split}\]

座標(ベクトル) と同様に、電場／磁場を座標系の移動速度について平行な成分と鉛直な成分に分けることを考える。

(11.34)\[\begin{split}E_\parallel =& \vec{\mathbf E}\cdotp\vec{\beta}/\beta \\ \vec{\mathbf E}_\perp =& \vec{\mathbf E} - E_\parallel \vec{\beta}/\beta \\ B_\parallel =& \vec{\mathbf B}\cdotp\vec{\beta}/\beta \\ \vec{\mathbf B}_\perp =& \vec{\mathbf B} - B_\parallel \vec{\beta}/\beta\end{split}\]

である。ローレンツ変換でこれらの電磁場は

(11.35)\[\begin{split}E'_\parallel &= E_\parallel \\ \vec{\mathbf E'}_\perp &= \gamma\left(\vec{\mathbf E}_\perp + \vec{\mathbf \beta}\times\vec{\mathbf c B} \right) = \gamma\left(\vec{\mathbf E}_\perp + \vec{\mathbf \beta}\times\vec{\mathbf c B_\perp} \right) \\ B'_\parallel &= B_\parallel \\ \vec{\mathbf c B'}_\perp &= \gamma\left(\vec{\mathbf c B}_\perp - \vec{\mathbf \beta}\times\vec{\mathbf E} \right) = \gamma\left(\vec{\mathbf c B}_\perp - \vec{\mathbf \beta}\times\vec{\mathbf E_\perp} \right)\end{split}\]

と変換される。

特に\(\vec{v} = v \vec{e_x}\)の場合を考えると、

(11.36)\[\begin{split}E'_x &= E_x \\ E'_y &= \gamma\left( E_y - \beta B_z\right)\\ E'_z &= \gamma\left( E_z + \beta B_y\right)\\ B'_x &= B_x \\ c B'_y &= \gamma\left(c B_y + \beta E_z \right) \\ c B'_z &= \gamma\left(c B_z - \beta E_y \right)\end{split}\]

となる。

四元速度ベクトル\(\beta^\mu = \left(\gamma, \gamma\beta_x, \gamma\beta_y, \gamma\beta_z\right)\)(\(\beta_\mu \beta^\mu = 1\))を導入して、 次の式で定義される二つの4元ベクトルを考えてみる。

(11.37)\[\begin{split}F_{\mu\nu} \beta^\nu \\\end{split}\]

および

(11.38)\[\epsilon^{\mu\nu\lambda\sigma} F_{\nu\lambda}\beta_\sigma\]

この時、これらのベクトルを成分で書き下してみると、

(11.39)\[\begin{split}F_{0\nu}\beta^\nu =& F_{01}\gamma\beta_x + F_{02} \gamma\beta_y + F_{03}\gamma\beta_z = \gamma \beta E_\parallel \\ F_{1\nu}\beta^\nu =& F_{10}\gamma+ F_{12} \gamma\beta_y + F_{13}\gamma\beta_z\\ =& \gamma\left( \vec{\mathbf E} + c \mathbf{\beta}\times\mathbf{B}\right)_x\end{split}\]

また、

(11.40)\[\begin{split}\epsilon^{0ijk}F_{ij}\beta_k =& 2 c \mathbf{B}_k \beta_k = 2 c \mathbf{B}\cdotp \mathbf{\beta} = 2 c\beta B_\parallel \\ \epsilon^{1\nu\lambda\sigma} F_{\nu\lambda}\beta_\sigma =& \epsilon^{10jk} F_{0j}\beta_k \epsilon^{1k0j} F_{k0}\beta_j +\epsilon^{1jk0} F_{jk}\beta_0\\ =& \epsilon^{10jk} \left(F_{0j}\beta_k + F_{k0}\beta_j + F_{jk}\beta_0\right)\\ =& \epsilon^{10jk} \left(F_{0j}\beta_k - F_{k0}\beta_j + F_{jk}\gamma\right)\\ =& 2\gamma\left( c \mathbf{B} -\mathbf{\beta}\times\mathbf{E}\right)_x\end{split}\]

となる。　これらは上記の速度の方向に平行な成分と鉛直な成分に一致している。

11.6. 物質中でのMaxwell方程式

物質中では、誘電率 \(\varepsilon\) , 透磁率 \(\mu\) の物質中では、 物質に対して静止した系で、 電場／磁場と電束密度／磁束密度は

(11.41)\[\begin{split}\mathbf{\vec D} &= \varepsilon \mathbf{\vec E} \\ \mathbf{\vec B} &= \mu \mathbf{\vec H}\end{split}\]

なる関係式が使われる。この関係式を共変な形に書き換えることを考える。

共変な形式に書き表すために、静止系において、4元速度　\(w^\mu=\left(1,u^x,u^y,u^z\right)/\sqrt{1-u^2}\) は　\(w^\mu=\left(1,0,0,0)\right)\) であるから、

(11.42)\[\begin{split}F_{0\nu} w^\nu =& 0\\ F_{i\nu} w^\nu =& F_{i0} = -E_i\\ \epsilon^{0ijk}\left( F_{ij}w_k + F_{jk}w_i+F_{ki}w_j\right)=& 0\\ \epsilon^{i\mu\nu\lambda}\left(F_{\mu\nu}w_\lambda+F_{\nu\lambda}w_\mu+F_{\lambda\mu}w_\nu\right)\\ =& \epsilon^{i\mu\nu0}F_{\mu\nu}+\epsilon^{i0\nu\lambda}F_{\nu\lambda}+\epsilon^{i\mu0\lambda}F_{\lambda\mu}\\ =& \epsilon^{ijk0}F_{jk}+\epsilon^{i0jk}F_{jk}+\epsilon^{ik0j}F_{jk}\\ =& -3 \epsilon^{ijk}F_{jk}= -3c\mathbf{B}_i\end{split}\]

となる。これから、

(11.43)\[\begin{split}\mathbf{\vec D} &= \varepsilon \mathbf{\vec E} \\ \mathbf{\vec H} &= \frac{1}{\mu} \mathbf{\vec B}\end{split}\]

をテンソル形式で

(11.44)\[\begin{split}H_{\mu\nu} w^\nu &= \varepsilon F_{\mu\nu} w^\nu \\ H_{\mu\nu} w_\lambda + H_{\nu\lambda} w_\mu + H_{\lambda\mu} w_\nu &= \frac{1}{\mu}\left( F_{ \mu\nu} w_\lambda +F_{\nu\lambda} w_\mu + F_{\lambda\mu} w_\nu\right)\end{split}\]

と書き表すことが可能であることがわかる。

この式を成分ごとに書き下してみれば、

(11.45)\[\begin{split}{\mathbf D} + \frac{\mathbf v}{c^2}\times {\mathbf H} = & \varepsilon \left({\mathbf E} + {\mathbf v}\times {\mathbf B} \right) \\ {\mathbf H} - {\mathbf v} \times {\mathbf D} = & \frac{1}{\mu} \left( {\mathbf B} - \frac{\mathbf v}{c^2}\times {\mathbf E} \right)\end{split}\]

と前章で議論した表式と一致することが確かめられる。

12. エネルギー・運動量テンソル

電磁場のエネルギー・運動量テンソルと呼ばれる量を \(T_{\mu\nu}\) を次の式で定義する。

(12.1)\[T_{\mu\nu} = \frac{1}{c} \left( H_{\mu\lambda} {F^\lambda}_\nu + \frac{1}{4} \eta_{\mu\nu} H_{\lambda\sigma} F^{\lambda\sigma}\right)\]

式 式-11.24 より、

(12.2)\[\begin{split}H_{\mu\nu}F^{\mu\nu} = & 2 H_{0k}F^{0k} + H_{ij}F^{ij} \\ = & -2 c \vec{\mathbf D}_k\vec{\mathbf E}_k + 2 c \vec{\mathbf H}\cdotp\vec{\mathbf B} \\ = & -2 c \left(\vec{\mathbf D}\cdotp\vec{\mathbf E} - \vec{\mathbf H}\cdotp\vec{\mathbf B} \right)\end{split}\]

であることに注意すると

ここで、

(12.3)\[\begin{split}T_{00} = &\frac{1}{c} \left( H_{0i} {F^i}_0 + \frac{1}{4} H_{\lambda\sigma} F^{\lambda\sigma} \right) \\ = & \vec{\mathbf D}_i \vec{\mathbf E}_i - \frac{1}{2} {\left(\vec{\mathbf D}\cdotp\vec{\mathbf E} - \vec{\mathbf H}\cdotp\vec{\mathbf B} \right)} \\ = & \frac{1}{2} \left( \vec{\mathbf D}\cdotp\vec{\mathbf E} + \vec{\mathbf H}\cdotp\vec{\mathbf B} \right) \\\end{split}\]

および

(12.4)\[\begin{split}T_{0i} = & \frac{1}{c} H_{0j} {F^j}_i \\ = & \frac{1}{c} H_{0j} F_{ij} \\ = & \vec{\mathbf D}_j \varepsilon_{ijk} (-c\vec{\mathbf B}_k) \\ = & - c \varepsilon_{ijk} \vec{\mathbf D}_j\vec{\mathbf B}_k \\ = & - c \left(\vec{\mathbf D} \times \vec{\mathbf B}\right)_i \\ \\ T_{i0} = & \frac{1}{c} H_{ij} {F^j}_0 \\ = & - \frac{1}{c} \varepsilon_{ijk} \vec{\mathbf H}_k F_{0j} \\ = & - \frac{1}{c} \varepsilon_{ijk} \vec{\mathbf H}_k \vec{\mathbf E}_j \\ = & - \frac{1}{c} \varepsilon_{ijk} \vec{\mathbf H}_k \vec{\mathbf E}_j \\ = & \frac{1}{c} \varepsilon_{ikj} \vec{\mathbf E}_j \vec{\mathbf H}_k \\ = & \frac{1}{c} \left(\vec{\mathbf H} \times \vec{\mathbf E} \right)_i = - \frac{1}{c}\left( \vec{\mathbf E} \times \vec{\mathbf H} \right)_i \\\end{split}\]

(12.5)\[\begin{split}T_{ij} = & \frac{1}{c} H_{ik} {F^k}_j + \frac{1}{c} H_{i0} {F^0}_j + \frac{1}{2}\delta_{ij} \left(\vec{\mathbf D}\cdotp\vec{\mathbf E} - \vec{\mathbf H}\cdotp\vec{\mathbf B} \right) \\ = & - \frac{1}{c} \varepsilon_{ikl}\vec{\mathbf H}_l F_{jk} + \frac{1}{c} (-c \vec{\mathbf D}_i )(\vec{\mathbf E}_j) + \frac{c}{2}\delta_{ij} \left(\vec{\mathbf D}\cdotp\vec{\mathbf E} - \vec{\mathbf H}\cdotp\vec{\mathbf B} \right) \\ = & - \frac{1}{c} \epsilon_{ikl}\mathbf{H}_l (-c \epsilon_{jkm}\vec{\mathbf B}_m) + (-\vec{\mathbf D}_i )(\vec{\mathbf E}_j) + \frac{1}{2}\delta_{ij} \left(\vec{\mathbf D}\cdotp\vec{\mathbf E} - \vec{\mathbf H}\cdotp\vec{\mathbf B} \right) \\ = & (\delta_{ij}\delta_{lm} - \delta_{im}\delta_{jl})\vec{\mathbf H}_l \vec{\mathbf B}_m + (-\vec{\mathbf D}_i )(\vec{\mathbf E}_j) + \frac{1}{2}\delta_{ij} \left(\vec{\mathbf D}\cdotp\vec{\mathbf E} - \vec{\mathbf H}\cdotp\vec{\mathbf B} \right) \\ = & (\delta_{ij}\vec{\mathbf H}_k \vec{\mathbf B}_k - \vec{\mathbf H}_j \vec{\mathbf B}_i + (-\vec{\mathbf D}_i )(\vec{\mathbf E}_j) + \frac{1}{2}\delta_{ij} \left(\vec{\mathbf D}\cdotp\vec{\mathbf E} - \vec{\mathbf H}\cdotp\vec{\mathbf B} \right) \\ =& -\mathbf{H}_j\mathbf{B}_i - \mathbf{D}_i \mathbf{E}_j + \frac{1}{2}\delta_{ij}\left(\mathbf{D}\cdot\mathbf{E} + \mathbf{H}\cdot\mathbf{B}\right) \\ = & -\vec{\mathbf H}_j \vec{\mathbf B}_i + \frac{1}{2}\delta_{ij} \vec{\mathbf H}\cdot\vec{\mathbf B} - \vec{\mathbf D}_i \vec{\mathbf E}_j + \frac{1}{2}\delta_{ij} \vec{\mathbf D}\cdot\vec{\mathbf E} \\\end{split}\]

から、 \(T_{\mu\nu}\) は電磁場のエネルギー密度,ポインティングベクトル,　およびMaxwellの応力テンソルを表していることがわかる。(演習 \(T_{ij}\) を計算してみる。)

さらに真空中では

(12.6)\[H_{\mu\nu} = c\varepsilon_0 F_{\mu\nu}\]

であったから、

(12.7)\[T_{\mu\nu} = \varepsilon_0 \left( F_{\mu\lambda} {F^\lambda}_\nu + \frac{1}{4} \eta_{\mu\nu} F_{\lambda\sigma} F^{\lambda\sigma}\right)\]

この時

(12.8)\[\begin{split}T_{\mu\nu} = & T_{\nu\mu} \\ {T_\mu}^\mu = & {T^\mu}_\mu = \eta^{\mu\nu} T_{\mu\nu} = \\ = & \varepsilon_0 \left( F_{\mu\lambda} {F^{\lambda\mu}} + F_{\lambda\sigma} F^{\lambda\sigma}\right) \\ = & \varepsilon_0 \left( F_{\mu\lambda} {F^{\lambda\mu}} - F_{\lambda\sigma} F^{\sigma\lambda}\right) \\ = & 0\end{split}\]

が直ちに導かれる。

12.1. エネルギー・運動量の保存則

この対称な真空中のエネルギー・運動量テンソルの保存則をしらべるために、四次元的な発散を計算してみる。

(12.9)\[\begin{split}\partial^\mu T_{\mu\nu} =& \varepsilon_0 \left( \left(\partial^\mu F_{\mu\lambda}\right) {F^\lambda}_\nu + F_{\mu\lambda}\left(\partial^\mu {F^\lambda}_\nu \right) + \frac{1}{2} \left(\partial_\nu F_{\lambda\sigma} \right)F^{\lambda\sigma}\right) \\ =& \frac{1}{c} j_\lambda {F^\lambda}_\nu + \frac{\varepsilon_0}{2}\left(F^{\mu\lambda}{\partial_\mu F_{\lambda\nu}} + F^{\lambda\mu}{\partial_\lambda F_{\mu\nu}} + F^{\lambda\mu} {\partial_\nu F_{\lambda\mu}} \right) \\ =& \frac{1}{c} j_\lambda {F^\lambda}_\nu\end{split}\]

となる。ここで真空中のMaxwell方程式

(12.10)\[\begin{split}\partial^\nu F_{\mu\nu}= - \frac{1}{c \varepsilon_0} j_\mu \\ \partial_\mu F_{\nu\lambda} + \partial_\nu F_{\lambda\nu} + \partial_\lambda F_{\mu\nu} = 0\end{split}\]

を使った。

右辺の量を三次元の量で書き直してみると、

(12.11)\[\begin{split}\frac{1}{c} j_\lambda {F^\lambda}_0 = & \frac{1}{c}j^k {F_k}_0 \\ = & -\frac{1}{c} \mathbf{j}^k \mathbf{E}_k \\ \frac{1}{c} j_\lambda {F^\lambda}_k = & \frac{1}{c} j^0 {F_0}_k + j^l {F_l}_k \\ = & c\rho \mathbf{E}_k - c \mathbf{j}^l \epsilon_{lkj}\mathbf{B}_j \\ = & c \left(\rho \mathbf{E} + {\mathbf{j} \times\mathbf{B}}\right)_k\end{split}\]

である。　これらは、電磁場が電流に対してした仕事量および電流が受けるローレンツ力(単位時間あたりの運動量の変化）を表している。