13. 電磁場と変分原理

これまで見てきたNewtonの運動方程式、Maxwell方程式、相対論的運動方程式はすべて特定の座標系(直交座標系、Cartesian coordinate)での方程式を見てきた。問題に依っては、直交座標系ではなく、別の座標系(例えば加速器の荷電粒子光学での加速器座標系)を使うことが便利な場合もある。

座標系の取り方に依らない力学系(運動方程式）の記述には、解析力学(analytical mechanics)が使われる。解析力学に於いては、作用積分および「最小作用の原理」が基本となる。これまで知られている様々な方程式が最小作用の原理から導かれることがわかっている。特に、古典的な運動方程式の「最小作用の法則」は系の量子化から正当化される(Feynman のPath Integral)。

解析力学には

ラグランジ形式::

一般化座標 \(q\) とその時間微分 \(\dot{q}\) で系を記述)

ハミルトン形式::

正準座標 \(q\) と正準運動量 \(p\) で系を記述

の二つの形式が使われる。これらの形式は相互にルジャンドル変換 で関連づけられています。

13.1. ラグランジ形式と最小作用の原理

13.1.1. 作用積分とラグランジアン

ラグランジ形式では、作用積分 ( 式-13.1 ) は ラグランジアン \(L(q,\dot{q})\) を用いて、

(13.1)\[\mathcal{S} = \int_{t_1}^{t_2} L\left(q, \dot{q} \right)dt\]

と定義されます。ここで、\(q\) およびは \(\dot{q}\) 系を記述する 一般化座標 とその 時間微分 です。

ニュートン力学のラグランジアン式-13.2は

(13.2)\[\mathcal{L} = \frac{m}{2} v^2 - U(x)\]

であることが知られています。

13.1.2. 最小作用の原理と運動方程式

ラグランジ形式における運動は 両端( \(t=t1\) および \(t=t2\) ) での\(q\)および\(\dot{q}\)を固定して、作用が最小となる軌跡となる(最小作用の原理)。これより導かれる運動方程式は、

(13.3)\[\begin{split}\delta \mathcal{S} =& \int dt \left[ \frac{\partial L}{\partial q} \delta q + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \delta \dot{q}\right] \\ = & \int dt \left[ \frac{\partial L}{\partial q} - \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right]\delta {q} \\ = & 0\end{split}\]

より

(13.4)\[\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q} - \frac{d}{dt} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}} = 0\]

となる。(Euler方程式あるいはLagrangeの方程式)

座標変換\(Q = Q(q)\)でこの運動方程式がどうなるかを考えてみる。

(13.5)\[\begin{split}Q = Q(q)\\ \dot{Q} = \frac{\partial Q}{\partial q} \dot{q} \\ \mathcal{L}'(Q,\dot{Q}) = \mathcal{L}(q,\dot{q})\end{split}\]

(13.6)\[\begin{split}\frac{\partial Q}{\partial \dot{q}} = 0\\ \frac{\partial \dot{Q}}{\partial \dot{q}} = \frac{\partial Q}{\partial q}\end{split}\]

に注意すると、

(13.7)\[\begin{split}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q} - \frac{d}{dt} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}} =& -\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial \mathcal{L}'}{\partial Q}\frac{\partial Q}{\partial \dot{q}} + \frac{\partial \mathcal{L}'}{\partial \dot{Q}}\frac{\partial \dot{Q}}{\partial \dot{q}} \right) \\ +& \frac{\partial \mathcal{L}'}{\partial Q}\frac{\partial Q}{\partial q} + \frac{\partial \mathcal{L}'}{\partial \dot{Q}}\frac{\partial \dot{Q}}{\partial q} \\ =& \left(\frac{\partial \mathcal{L}'}{\partial Q} - \frac{d}{dt} \frac{\partial \mathcal{L}'}{\partial \dot{Q}}\right) \frac{\partial Q}{\partial q}\end{split}\]

となる。すなわち座標変換後の運動方程式式-13.8も

(13.8)\[\frac{\partial \mathcal{L}'}{\partial Q} - \frac{d}{dt} \frac{\partial \mathcal{L}'}{\partial \dot{Q}} = 0\]

と同じ形式のEuler方程式となる。

13.1.3. 運動方程式の例

作用積分としてローレンツ不変な次の量を考える。 1

(13.9)\[\begin{split}S &= \int_{p_1}^{p_2} \left( - m_0 - e A_\mu \frac{d z^\mu}{d \tau} \right) d\tau \\ & = \int_{p_1}^{p_2} dt \left\{ - m_0\sqrt{1-\mathbf{u}^2} - e A_\mu \frac{d z^\mu}{d t} \right\}\end{split}\]

(以下しばらく\(c = 1\)とする。)

1

ここでは、軌道の独立変数を \(t\) として議論を進めていく。 独立変数を固有時間 \(\tau\) のまま議論を進めることもできるが、その場合には 四次元速度の満たすべき条件 \(\frac{d z^\mu}{d \tau} \frac{d z_\mu}{d \tau} = 1\) を付加条件とした上で変分法を使う必要がある。

ラグランジアン\(\mathcal{L}\)は従って、

(13.10)\[\mathcal{L}(\mathbf{z},\mathbf{u}) = - m_0\sqrt{1-\mathbf{u}^2} - e \phi + e \mathbf{A}\cdot\mathbf{u}\]

である。この時運動方程式は、

(13.11)\[\begin{split}\frac{d}{dt}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial u_x} = \frac{d}{dt}\left(\frac{m_0}{\sqrt{1-\mathbf{u}^2}}\mathbf{u_x} + e \mathbf{A}_x \right) \\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = - e \frac{\partial \phi}{\partial x} + e\left( \frac{\partial A_x}{\partial x} u_x +\frac{\partial A_y}{\partial x} u_y + \frac{\partial A_z}{\partial x} u_z\right)\end{split}\]

から、

(13.12)\[\frac{d}{dt}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial u_x} - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = \frac{d}{dt}\left(\frac{m_0}{\sqrt{1-\mathbf{u}^2}}\mathbf{u_x}\right) + e \frac{\partial \phi}{\partial x} + e \frac{\partial \mathbf{A}_x}{\partial t} - e\left( u_y B_z - u_z B_y\right) = 0\]

となる。これは外場\(A_\mu\)によるローレンツ力をうけている質点の相対論的な運動方程式

(13.13)\[\frac{d}{dt}\left(\frac{m_0}{\sqrt{1-\mathbf{u}^2}}\mathbf{u}\right) = e\left( \mathbf{E} + \mathbf{u}\times\mathbf{B}\right)\]

に他ならない。

ローレンツ不変性を明らかにするために時間 \(t\) にかわり、 \(\tau\) を運動のパラメータとすることも出来る。その時、作用積分は、

(13.14)\[\begin{split}S =& \int_{p_1}^{p_2} \left( - m_0 - e A_\mu \frac{d z^\mu}{d \tau} \right) d\tau \\ =& \int_{p_1}^{p_2} d\tau \left\{ - m_0\sqrt{\frac{d z^\mu}{d \tau}\frac{d z_\mu}{d \tau}} - e A_\mu \frac{d z^\mu}{d\tau} \right\} \\ =& \int_{p_1}^{p_2} d\tau \left\{ - m_0\sqrt{w_\mu w^\mu} - e A_\mu w^\mu \right\}\end{split}\]

となる。

ただし、

(13.15)\[\begin{split}w_\mu = \frac{d z_\mu}{d\tau}\\\end{split}\]

とした。この時、\(\tau\)の定義より、

(13.16)\[w_\mu w^\mu = 1\]

である。 2

2

先に述べた様に、この条件を変分をとる時に考慮する必要がある。

運動方程式は、

(13.17)\[\begin{split}\mathcal{L}=\left\{ - m_0\sqrt{w_\mu w^\mu} - e A_\mu w^\mu \right\} \\ \frac{d}{d\tau} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial w_\mu} - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial z_\mu} = 0 \\ = \frac{d}{d\tau}\left(-\frac{m_0}{\sqrt{w_\mu w^\mu}} w^\mu -e A^\mu \right) + e \frac{\partial A_\nu}{\partial z_\mu} w^\nu\end{split}\]

これを整理すると、

(13.18)\[\frac{d}{d\tau}\left( m_0 w^\mu \right) = + e \frac{\partial A_\nu}{\partial z_\mu} w^\nu - e \frac{\partial A^\mu}{\partial z_\nu} w^\nu = e F^{\nu\mu}w_\nu\]

となります。