8. 相対性力学
ニュートンの運動方程式は、ガリレイ変換に対して共変でしたが、ローレンツ変換に対しては明らかに
共変ではありません。 電磁場中の質点中の運動を記述するためには、Maxwell方程式とおなじく、ローレンツ変換に対して
共変な運動方程式を用いなければなりません。
またこの運動方程式は非相対論的極限（ \(v << c\) あるいは \(c \rightarrow \infty\) )では
ニュートンの運動方程式に帰着されることが必要です。
Minkowski空間中の質点の軌跡(世界線)は、一次元のパラメータ \(\tau\) を用いて４次元座標
(8.1)\[z^\mu(\tau) = \left( c t(\tau), {\boldsymbol z}_x(\tau), {\boldsymbol z}_y(\tau),{\boldsymbol z}_z(\tau) \right)\]
で表されます。パラメータ \(\tau\) はローレンツ変換のスカラーであることが望ましい。そこで世界線に沿った四次元的な長さを
この \(\tau\) とします。
(8.2)\[\begin{split}\begin{cases}
d\tau = & \frac{1}{c}\sqrt{dz^\mu dz_\mu}
\\
\tau = & \frac{1}{c}\int_P \sqrt{dz^\mu dz_\mu}
\end{cases}\end{split}\]
\(dz\) はローレンツベクトルとして変換されますから、上記の定義により、 \(\tau\) がスカラーであることは明白です。
\(\tau\) は『ある瞬間において粒子の静止する静止系を考えた時、その瞬間的な座標系における時間に等しい』(固有時)。
ローレンツ変換では \(dz^\mu dz_\mu\) の符号は変わらないことから、 \(d\tau^2\) は常に時間的( \(d\tau^2 > 0\) )で
あることに注意しておきます。
8.1. 速度と四元速度
いま運動を考えている質点の速度 \({\boldsymbol u}\) は、
(8.3)\[{\boldsymbol u} = \frac{d {\boldsymbol z}} {dt}\]
と定義されます。ローレンツ変換に対して、 \(d z^\mu\) は：
(8.4)\[\begin{split}\begin{cases}
dx' &= \gamma\left(dx - \beta c dt \right) \\
dy' &= dy \\
dz' &= dz \\
c dt' &= \gamma\left(c dt - \beta d x\right) \\
\gamma &= \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}\\
\beta &= \frac{v}{c}
\end{cases}\end{split}\]
と変換されますから、速度 \({\boldsymbol u}\) は：
(8.5)\[\begin{split}\begin{cases}
{\boldsymbol u'}_x = & \frac{ {\boldsymbol u}_x - c \beta }{1 - \beta\frac{{\boldsymbol u}_x}{c} }\\
{\boldsymbol u'}_y = & \frac{ {\boldsymbol u}_y \sqrt{1-\beta^2}}{1 - \beta\frac{{\boldsymbol u}_x}{c} }\\
{\boldsymbol u'}_z = & \frac{ {\boldsymbol u}_z \sqrt{1-\beta^2}}{1 - \beta\frac{{\boldsymbol u}_x}{c} }\\
dt' = & \frac{1 - \beta\frac{{\boldsymbol u}_x}{c}}{\sqrt{1 -\beta^2}} dt
\end{cases}\end{split}\]
と変換されます。 つまり、 \({\boldsymbol u}\) はローレンツベクトルではありません。 これに対して、四元速度 \(w_\mu\) を
(8.6)\[w_\mu(\tau) \equiv \frac{d z_\mu(\tau)}{d\tau}\]
によって導入してみます。 その定義から明らかに、\(w_\mu(\tau)\)はローレンツベクトルとして変換されます。
また、その定義よりその四次元的な 「長さ」は
(8.7)\[w_\mu(\tau) w^\mu(\tau) = \frac{d z_\mu(\tau)}{d\tau} \frac{d z^\mu(\tau)}{d\tau} = c^2\]
と定数であることに注意します。
8.2. 四元速度と三次元的速度の関係
\(w_\mu\) と \(d\tau\) の定義より、
(8.8)\[\begin{split}w_\mu(\tau) &\equiv \frac{d z_\mu(\tau)}{d\tau}
\\
& = \frac{d z_\mu(\tau)}{\sqrt{1-\frac{1}{c^2} \frac{d{\boldsymbol z}}{dt}^2}dt}\end{split}\]
ですから、関係式
(8.9)\[\begin{split}\begin{cases}
w^k(\tau) & = \frac{u^k(t)}{\sqrt{1-\frac{1}{c^2} {\boldsymbol u}^2}}
\\
w^0(\tau) & = \frac{c d t(\tau)}{d \tau} = \frac{c}{\sqrt{1-\frac{1}{c^2} {\boldsymbol u}^2}}
\end{cases}\end{split}\]
が成立します。
8.3. 相対論的運動方程式
相対論的な運動方程式は、ランダウの教科書にあるように相対論的な不変な作用積分から最小作用の原理に
従って導出することも可能ですが、ここでは砂川の教科書にしたがって、発見論的に導出してみましょう。
ニュートンの運動方程式は
(8.10)\[m_0 \frac {d {\boldsymbol u}}{dt} = {\boldsymbol F}\]
ですが、ローレンツ共変な運動方程式をここでは、
(8.11)\[m_0 \frac {d w_\mu}{d\tau} = f_\mu\]
の形を 仮定 して、四次元的な \(f_\mu\) の満たすべき性質などを検討してみます。
- パラメータ \(m_0\) はニュートン運動方程式との対応から、固有質量、あるいは静止質量と呼ばれます。
\(m_0\) は今考えている質点を特徴づける量であり、ローレンツ変換に対して不変あるいはスカラーであるとします。
従って、
(8.12)\[m_0 \frac {d w_\mu}{d\tau} = f_\mu\]
は右辺の \(f_\mu\) がローレンツ変換に対してベクトルとして変換されるなら、共変な運動方程式と言えます。
またこの時、
(8.13)\[w_\mu(\tau) w^\mu(\tau) = c^2\]
から \(f_\mu\) は
(8.14)\[w^\mu(\tau) f_\mu = 0\]
を満足することが要請されます。
(8.15)\[\begin{split}\frac{d w^k(\tau)}{d\tau} & = \frac{d}{d\tau}{\frac{u^k(t)}{\sqrt{1-\frac{1}{c^2} {\boldsymbol u}^2}}}
\\
& = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{c^2} {\boldsymbol u}^2}} \frac{d}{dt} \frac{u^k(t)}{\sqrt{1-\frac{1}{c^2} {\boldsymbol u}^2}}\end{split}\]
ここで、 \(f_\mu\) の空間成分と３次元的な力 \({\boldsymbol F}\) との間に、
(8.16)\[f^k = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{c^2} {\boldsymbol u}^2}} {\boldsymbol {\boldsymbol F}^k}\]
の関係を 仮定 してみます。
この時、運動方程式は、(ニュートンの運動方程式を拡張した形の)
(8.17)\[\frac{d}{dt} \frac{m_0 u^k(t)}{\sqrt{1-\frac{1}{c^2} {\boldsymbol u}^2}} = F^i(t)\]
あるいは
(8.18)\[\frac{d}{dt} \frac{m_0 {\boldsymbol u}(t)}{\sqrt{1-\frac{1}{c^2} {\boldsymbol u}^2}} = {\boldsymbol F}\]
となります。
非相対論的な極限で、この方程式はニュートンの運動方程式に明らかに一致します。
8.4. ローレンツ力
いま四次元的な電磁場 \(F_{\mu\nu}\) と四元速度 \(w_\mu\) から作られる量、
(8.19)\[f_\mu= \frac{e}{c} F_{\mu\nu}(\tau) w^{\nu}(\tau)\]
を考えてみます。
あきらかに、
(8.20)\[f_\mu w^\mu = \frac{e}{c} F_{\mu\nu} w^\mu w^\nu \equiv 0\]
を満足しています。
(8.21)\[\begin{split}f_k = & \frac{e}{c}\left( F_{k0} w^0 + F_{kl} w^{l}\right)
\\
= & \frac{e}{c}\left(
-{\mathbf E}_k \frac{c}{\sqrt{1- \frac{{\boldsymbol u}^2}{c^2}}}
+ c \epsilon_{klm}{\mathbf B_m} \frac{{\mathbf u}_l}{\sqrt{1- \frac{{\mathbf u}^2}{c^2} } }
\right)
\\
= & -\frac{e}{\sqrt{1- \frac{{\mathbf u}^2}{c^2}}} \left( {\mathbf E} + {\mathbf u}\times{\mathbf B} \right)\\\end{split}\]
から、
(8.22)\[\begin{split}\frac{d}{dt} \frac{m_0{\boldsymbol u}(t)}{\sqrt{1-\frac{1}{c^2} {\boldsymbol u}^2}} = {\boldsymbol F}
\\
= e \left( {\boldsymbol E} + {\boldsymbol u}\times{\boldsymbol B}\right)\end{split}\]
となり、右辺は荷電 \(e\) を持つ質点が電磁場から受けるローレンツ力にほかならないことがわかります。
一方、共変な運動方程式の第０成分を考えると、
(8.23)\[\begin{split}f_0 &= \frac{e}{c} F_{0k} w^{k}
\\
& = \frac{e}{c} \frac{{\boldsymbol E}\cdot{\boldsymbol u}}{\sqrt{1-\frac{{\boldsymbol u}^2}{c^2}}}\end{split}\]
ですから、
(8.24)\[\begin{split}\frac{d}{dt} \frac{m_0 c}{\sqrt{1-\frac{1}{c^2} {\boldsymbol u}^2}} = \frac{e}{c} {\boldsymbol E}\cdot{\boldsymbol u}
\\
\rm{あるいは}
\\
\frac{d}{dt} \frac{m_0 c^2}{\sqrt{1-\frac{1}{c^2} {\boldsymbol u}^2}} = e {{\boldsymbol E}\cdot{\boldsymbol u}}\end{split}\]
です。この第２式の右辺は単位時間辺りに荷電粒子が受ける仕事を表していますから、
この式は左辺は質点のエネルギーの単位時間辺りの変化量を表していることが解ります。
言い換えると、
(8.25)\[T \equiv \frac{m_0 c^2}{\sqrt{1-\frac{1}{c^2} {\boldsymbol u}^2}}\]
は質点のエネルギーを表していると解釈できます。非相対論的極限では、
(8.26)\[\begin{split}T & \equiv \frac{m_0 c^2}{\sqrt{1-\frac{{\boldsymbol u}^2}{c^2} }}
\\
& = m_0 c^2\left( 1+\frac{1}{2}\frac{{\boldsymbol u}^2}{c^2} \dots \right)
\\
& = m_0 c^2 + \frac{m_0}{2} {\boldsymbol u}^2 \dots\end{split}\]
となり、ニュートン力学に於ける質点の運動エネルギーと静止質量のエネルギー \(m_0 c^2\) の和となっています。
これが有名なEinsteinのエネルギーと質量の等価性の式
(8.27)\[E= m c^2\]
に他なりません。
四元的な運動量を \(g_\mu=m_0 w_\mu\) によって定義する、共変な運動方程式は
(8.28)\[\frac{d}{d\tau} g_\mu = f_\mu\]
となります。さらに、
(8.29)\[\begin{split}g_\mu g^\mu & = m_0 w_\mu w^\mu
\\
& = m_0^2 c^2\end{split}\]
です。
砂川の教科書に指摘されているように、『この関係を満たすのは、点電荷が電磁場と相互作用しているか否かには関係しない』ことに注意しておきます。
8.4.1. 問題
平行に進行する二つの荷電粒子\(q_1 \mathrm{and} q_2\)の粒子に働く電磁力を考える。観測系Kでは、これらの粒子は互いに平行に、それぞれが
速度\(u_1\)および\(u_2\)で動いているとする。ここで粒子1の静止系 K1 を考える。K1では粒子1は静止しているので、
それの作る磁場はなく, クーロン力に相当する電場だけを作り出す。K1系では粒子1は原点に、もう一方の粒子（粒子2）は\(y' = d'\)の位置にいるとすれば、
K1系で粒子1の作る電場\(E'\)および磁場\(B'\)は、
(8.30)\[\begin{split}\begin{cases}
E'_x &= 0\,,\quad E'_y = \dfrac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \dfrac{q_1}{d'^2}\,,\quad E'_z=0
\\
B'_x &= 0\,,\quad B'_y = 0\,,\quad B'_z=0
\end{cases}\end{split}\]
となる。 したがって、粒子1が作る観測系Kでの電場および磁場は、
(8.31)\[\begin{split}\begin{cases}
E_x &= E'_x =0
\\
E_y &= \gamma_1\left( E'_y - \beta_1 B'_z\right) = \gamma_1 E'_y
\\
E_z &= \gamma_1\left( E'_z + \beta_1 B'_y\right) = 0
\\
B_x &= B'_x = 0
\\
c B_y &= \gamma_1\left(c B'_y + \beta_1 E'_z \right) =0
\\
c B_z &= \gamma_1\left(c B'_z - \beta_1 E'_y \right) = \gamma_1\beta_1 E'_y
\end{cases}\end{split}\]
またこれによって、粒子2が系K1で受ける力は：
(8.32)\[F'_y = q_2 \left( E'_y - u'_2 c B'_z\right) = q_2 E'_y\]
である。 ここで、\(u'_2\)は系K1での粒子2の速度であるが、これは相対論における速度の合成則から
(8.33)\[u'_2= \frac{u_2 - u_1}{1 - \frac{u_2 u_1}{c^2}}\]
である。
二つの粒子は平行に移動しているので、観測系Kにおいても二つの粒子の距離は\(d = d'\)で変わらない。粒子2が粒子1から受ける力は、
(8.34)\[\begin{split}F_y(2) = & q_2 \left( E_y(1) - \beta_2 c B_z(1)\right)
\\
= & q_2\gamma_1\left( E'_y(1) - \beta_2 \beta_1 E'_y(1)\right)
\\
= & \gamma_1\left(1-\beta_1\beta_2\right)\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1 q_2}{d^2}\end{split}\]
である。逆に粒子1が粒子2の作る電磁場から受ける、観測系Kでのローレンツ力は、
(8.35)\[\begin{split}F_y(1) = & q_1 \left( E_y(2) \beta_1 c B_z(2)\right)
\\
= & q_1\gamma_2\left( E'_y(2) - \beta_1 \beta_2 E'_y(2)\right)
\\
= & - \gamma_2\left(1-\beta_1\beta_2\right)\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1 q_2}{d^2}\end{split}\]
となる。
二つの粒子の速度が同じ場合には、
(8.36)\[\begin{split}F_y(1) = & - \gamma\left(1-\beta^2\right)\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1 q_2}{d^2}
\\
= & - \frac{1}{\gamma}\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1 q_2}{d^2}\end{split}\]
となって二つの粒子に働く力は、相対論的極限\(\beta \rightarrow 1\)で0に近づいていく。
8.4.2. 問題2
中央を中心に回転している長さ2 \(L\) の太さ無限小、線密度 \(\rho\) の棒を考える。
棒は一定の角速度 \(\omega\) で回転しているとする。
中心から \(r\) 離れた場所での区間 \(\delta r\) の相対論的な運動方程式を考える。
定角速度で運動していることから、
(8.37)\[\frac{ \rho {\Delta r}}{\sqrt{1- \frac{\left(r\omega\right)^2}{c^2}}} r \omega^2= \frac{d T(r)}{d r} {\Delta r}\]
が成立する。