20. 電磁場のラグランジ形式とハミルトン形式

電磁場と質点の共存する系の共変なラグランジアンは

(20.1)\[\begin{split}S&= \int_V L_F d^4x + \int_{-\infty}^\infty L_M d\tau + \int_{-\infty}^\infty L_I d\tau\\ \\ L_F &= - \frac{\varepsilon_0}{4} F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} \\ L_M &= \sum_{i=1}^{N} m_i c^2 \\ L_I &= \sum_{i=1}^{N} \frac{e_i}{c} A_\mu\left(z_i\left(\tau\right)\right)\frac{d z_i^\mu(\tau)}{d \tau}\end{split}\]

と書かれる。電磁場 \(F_{\mu\nu}\) はこれまでと同様に四次元の電磁ポテンシャル \(A_\mu\) を使って

(20.2)\[F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu\]

で定義されている。このラグランジアンの力学変数は、質点の座標 \(z_\mu\) と電磁ポテンシャル \(A_\mu\) である。 これらの力学変数についてのEuler方程式を書き下すことで、質点および電磁場が相互作用する系の運動方程式が導かれる。 質点の座標についての変分は、前節までの相対論的な運動方程式の導出と同様であるので、ここでは結果だけを示す。

(20.3)\[\frac{d}{dt}\left(\frac{m_i}{\sqrt{1-\frac{\mathbf{u_i}^2}{c^2}}}\mathbf{u_i}\right) = e_i\left( \mathbf{E(z_i(t),t)} + \mathbf{u_i}\times\mathbf{B(z_i(t),t)}\right)\]

次に、電磁ポテンシャルについての変分を考える。

(20.4)\[\begin{split}\delta \int_V d^x L_F & = -\int_V d^x \varepsilon_0F_{\mu\nu}\partial^\mu \delta A^\nu(x) \\ & = \int_V d^x \varepsilon_0 \partial^\mu F_{\mu\nu} \delta A^\nu(x)\end{split}\]

となる。最後の式では、部分積分をおこなった。

また、

(20.5)\[\delta \int_{-\infty}^\infty \tau L_I = \sum_{i=1}^{N} \frac{e_i}{c} \delta^4(x-z_i(\tau))\frac{d z_i^\mu(\tau)}{d \tau}\]

であるから、変分原理

(20.6)\[\frac{\delta I}{\delta A_\mu(x)} = 0\]

より運動方程式は、

(20.7)\[\varepsilon_0 \partial_\nu F^{\nu\mu} +\sum_{i=1}^{N} \frac{e_i}{c} \delta^4(x-z_i(\tau))\frac{d z_i^\mu(\tau)}{d \tau} =0\]

となる。