21. 座標の並進とエネルギー・運動量テンソル

系が並進対称性を持つ時、それに対するネーターの保存量が全運度量および全エネルギーであることが, 式-14.4で示されている。

これにしたがって、電磁場のエネルギー／運動量の保存則をラグランジアンから求めておく。

21.1. 電磁場の作用積分

電磁場の作用積分を書いておく。

(21.1)\[S = \int d^4x \left( - \frac{\varepsilon_0}{4} F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} \right)\]

この作用積分から正準エネルギー運動量テンソルを定義すると、

(21.2)\[\begin{split}T_{\mu\nu} &= \frac{\delta L}{\delta \partial^\mu A^\lambda} \partial_\nu A^\lambda - \eta_{\mu\nu}\left( - \frac{\varepsilon_0}{4} F_{\rho\sigma}F^{\rho\sigma} \right)\\ & = -\varepsilon_0 F_{\mu\lambda}\partial_\nu A^\lambda -\eta_{\mu\nu} L\end{split}\]

21.2. 対称エネルギー運動量テンソル

上の定義式で与えられるテンソルは対称ではない。空間積分されたエネルギー運動量に影響を与えない(表面積分が０となる)項を付け加えて、テンソルを対称化することができる。

(21.3)\[\begin{split}T_{\mu\nu} & = -\varepsilon_0 F_{\mu\lambda}{F_\nu}^\lambda -\eta_{\mu\nu} L +\varepsilon_0 F_{\mu\lambda}\partial^\lambda A_\nu \\ & = -\varepsilon_0 F_{\mu\lambda}{F_\nu}^\lambda -\eta_{\mu\nu} L +\varepsilon_0 \partial^\lambda\left(F_{\mu\lambda}A_\nu\right) - \partial^\lambda F_{\mu\lambda} A_\nu\end{split}\]

ここで、 \(T_{\mu\nu}\) に \(\mu\) および　 \(\lambda\) について反対称な量 \(\psi_{\lambda\mu\nu}\) があったとき、 \(T_{\mu\nu}\) に \(\partial^\lambda \psi_{\lambda\mu\nu}\) を付け加えても、積分 \(P_\mu\) は変わらないことから、対称化されたエネルギー・運動量テンソル

(21.4)\[T_{\mu\nu} = -\varepsilon_0 F_{\mu\lambda}{F_\nu}^\lambda -\eta_{\mu\nu} L - j_\mu A_\nu\]

が導かれる。(砂川 第11章(3.50)式、および第12章 (2.53)式)

21.3. エネルギーおよび運動量

(21.5)\[T_{\mu\nu} = -\varepsilon_0 F_{\mu\lambda}\partial_\nu A^\lambda -\eta_{\mu\nu} \left( - \frac{\varepsilon_0}{4} F_{\rho\sigma}F^{\rho\sigma} \right)\]

からエネルギー・運動量ベクトル \(P_\mu\) は

(21.6)\[P_\mu = \int d v T_{0\mu}\]

で定義される。特に

(21.7)\[\begin{split}P_0 &= H = \int d v T_{00} \\ &= \int d v \left[-\varepsilon_0 F_{0k}\partial_0 A^k -\left( - \frac{\varepsilon_0}{4} F_{\rho\sigma}F^{\rho\sigma} \right) \right]\\ &= \int d v \left[\varepsilon_0 \mathbf{E}_k \left(\mathbf{E}_k + \partial_k A^0\right) - \left( \frac{\varepsilon_0}{2} \left(\mathbf{E}\cdot\mathbf{E} - c^2 \mathbf{B}\cdot\mathbf{B}\right) \right) \right]\\ &= \int d v \left[\frac{\varepsilon_0}{2} \mathbf{E}\cdot\mathbf{E} + \frac{1}{2\mu_0}\mathbf{B}\cdot\mathbf{B} -\rho A_0\right]\end{split}\]

ここで、

(21.8)\[\begin{split}F_{0k}=\partial_0 A_k - \partial_k A_0 = \mathbf{E}_k \\ F_{ij}= -c \epsilon_{ijk} \mathbf{B}_k \\ \varepsilon_0 \mu_0 = \frac{1}{c^2}\end{split}\]

に注意すること。

また、

(21.9)\[\begin{split}c P_k &= \int d v T_{0k} \\ &= -\varepsilon_0 \int d v F_{0l}\partial_k A^l \\ &= -\varepsilon_0 \int d v F_{0l}\left({F_k}^l + \partial^l A_k\right) \\ &= \varepsilon_0 \int d v \left(c \mathbf{E}\times\mathbf{B} + div\mathbf{E}\mathbf{A}\right) \\ &= \int d v \left(\varepsilon_0 c \mathbf{E}\times\mathbf{B} -\rho \mathbf{A}\right)\end{split}\]