5. 電場・磁場の変換規則¶
Maxwell方程式のローレンツ変換に対する共変性の要請から、
(5.1)¶\[x'^{\mu} = {a^\mu}_\nu x^\nu\]
に対して電磁場 \(F_{\mu\nu}\) はテンソルとして変換されることがわかりました。
(5.2)¶\[F'_{\mu\nu} = {a_\mu}^{\rho}{a_\nu}^{\sigma} F_{\rho\sigma}\]
単純なローレンツ変換に対して電磁場がどのように変換されるかをみておきましょう。
まず、x軸方向に速度\(v\) で移動する系へのローレンツ変換は、
(5.3)¶\[\begin{split}{a^\mu}_\nu = \left(\begin{matrix}
\gamma ,& -\gamma\beta,& 0,& 0 \\
-\gamma\beta,& \gamma,& 0,& 0 \\
0,& 0,& 1,& 0\\
0,& 0,& 0,& 1 \\
\end{matrix}\right) \\
\\
{\text ここで、}\\
\beta=\frac{v}{c},\qquad \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}\end{split}\]
です。またこのとき、共変ベクトルの変換係数 \({a_\mu}^\nu\) は
(5.4)¶\[\begin{split}{a_\mu}^\nu = &\eta_{\mu\rho} \eta^{\nu\sigma} {a^\rho}_\sigma \\
= &\left(\begin{matrix}
\gamma ,& +\gamma\beta,& 0,& 0 \\
+\gamma\beta,& \gamma,& 0,& 0 \\
0,& 0,& 1,& 0\\
0,& 0,& 0,& 1 \\
\end{matrix}\right) \\\end{split}\]
です。。これらの変換係数が ローレンツ変換の条件式：
(5.5)¶\[\eta_{\mu\nu} = \eta_{\rho\sigma}{a^\rho}_\mu {a^\sigma}_\nu\]
を満たすことは、
(5.6)¶\[\begin{split}\eta_{\rho\sigma}{a^\rho}_\mu {a^\sigma}_\nu = & \left(\begin{matrix}
\gamma ,& -\gamma\beta,& 0,& 0 \\
-\gamma\beta,& \gamma,& 0,& 0 \\
0,& 0,& 1,& 0\\
0,& 0,& 0,& 1 \\
\end{matrix}\right) \left(\begin{matrix}
1, & 0, & 0, & 0\\
0, & -1, & 0, & 0\\
0, & 0, & -1, & 0\\
0, & 0, & 0, & -1
\end{matrix}
\right)\left(\begin{matrix}
\gamma ,& -\gamma\beta,& 0,& 0 \\
-\gamma\beta,& \gamma,& 0,& 0 \\
0,& 0,& 1,& 0\\
0,& 0,& 0,& 1 \\
\end{matrix}\right) \\
=&\left(\begin{matrix}
1, & 0, & 0, & 0\\
0, & -1, & 0, & 0\\
0, & 0, & -1, & 0\\
0, & 0, & 0, & -1
\end{matrix}
\right)\end{split}\]
と確認できます。
荷電密度および電流密度は4元ベクトルとして変換されますから、
(5.7)¶\[\begin{split}\left\lbrace\begin{split}
c\rho' = & \gamma \left(c\rho - \beta {\boldsymbol j}_x\right) \\
{\boldsymbol j'}_x = & \gamma\left(- \beta c\rho + {\boldsymbol j}_x \right)\\
{\boldsymbol j'}_y = & {\boldsymbol j}_y \\
{\boldsymbol j'}_z = & {\boldsymbol j}_z
\end{split}\right.\end{split}\]
となります。
5.1. 電磁場テンソルの変換規則¶
電磁場テンソル \(F_{\mu\nu}\)の変換規則をもう少し詳しくみてみましょう。
(5.8)¶\[F'_{\mu\nu} = {a_\mu}^\rho {a_\nu}^\sigma F_{\rho\sigma}\]
を成分ごとに書き下してみます。
この時、Minkowski空間の四次元電磁場 \(F_{\mu\nu}\)と通常の電場、磁場との関係は、
(5.9)¶\[\begin{split}c \boldsymbol{B}_x = & - F_{23},\ c \boldsymbol{B}_y = - F_{31},\ c \boldsymbol{B}_z = - F_{12}
\\\\
\boldsymbol{E}_x =& F_{01},\ \boldsymbol{E}_y = F_{02},\ \boldsymbol{E}_z = F_{03}
\\\\
F_{\mu\nu} = & - F_{\nu\mu}
\\\end{split}\]
であることに注意しましょう。
まず電場は、ローレンツ変換によって
(5.10)¶\[\begin{split}\boldsymbol{E'}_x =& F'_{01} \\
= & {a_0}^0 {a_1}^1 F_{01} + {a_0}^1{a_1}^0 F_{10} + {a_0}^1{a_1}^1 F_{11} +{a_0}^0{a_1}^0 F_{00} \\
= & \gamma^2 E_x - \gamma^2\beta^2 E_x = E_x \\
\boldsymbol{E'}_y =& {F'}_{02} \\
= & {a_0}^0 {a_2}^2 F_{02} + {a_0}^1{a_2}^2 F_{12}\\
= & \gamma E_y - \gamma\beta c{\boldsymbol B}_z \\
\boldsymbol{E'}_z =& {F'}_{03} \\
= & {a_0}^0 {a_3}^3 F_{03} + {a_0}^1{a_3}^3 F_{i3}\\
= & \gamma E_z + \gamma\beta c{\boldsymbol B}_y \\\end{split}\]
と変換されることがわかります。
また、磁場についても同様の計算をおこなうと、
(5.11)¶\[\begin{split}c{\boldsymbol B}'_x =& {F'}_{32} \\
= & {a_3}^3 {a_2}^2 F_{32} \\=& c{\boldsymbol B}_x\\
c{\boldsymbol B}'_y =& {F'}_{13} \\
= & {a_1}^0 {a_3}^3 F_{03} + {a_1}^1{a_3}^3 F_{13} \\
= & \gamma\beta {\boldsymbol E}_z + \gamma c {\boldsymbol B}_y \\
c{\boldsymbol B}'_z = & {F'}_{21} \\
= & {a_2}^2 {a_1}^0 F_{20} + {a_2}^2{a_1}^1 F_{21} \\
= & -\gamma\beta {\boldsymbol E}_y + \gamma c {\boldsymbol B}_z\end{split}\]
となります。
5.1.1. 物質中の電場／磁場の変換則¶
電場と電測密度、磁場と磁場密度を関係付ける現象論法則:
(5.12)¶\[\begin{split}\left\lbrace
\begin{split}
{\boldsymbol D'} =& \varepsilon {\boldsymbol E'} \\
{\boldsymbol H'} =& \frac{1}{\mu} {\boldsymbol B'} \\
\end{split}\right.\end{split}\]
ついて考えてみましょう。 この（現象論的）法則自体は、物質に固定された慣性系でのみなりたつ法則ですから、 物質が速度\({\boldsymbol v}\)で移動する慣性系ではなりたつとは限りません。
Maxwell方程式がローレンツ変換に対して共変であるためには、\(F_{\mu\nu}\)および \(H_{\mu\mu}\) がいずれも（2階の)テンソルとして変換されることが必要十分です。
したがって、上記の現象論的な式を物質が動いている系Kで観測される電磁場で(２階テンソルのローレンツ変換則を用いて)書き下すと、
(5.13)¶\[\begin{split}{\boldsymbol D}_x = & \varepsilon {\boldsymbol E}_x , \\
\\
\gamma{\boldsymbol D}_y -\gamma\frac{\beta}{c} {\boldsymbol H}_z = &
\varepsilon\left( \gamma {\boldsymbol E}_y - \gamma\beta c{\boldsymbol B}_z \right) , \\
\\
\gamma{\boldsymbol D}_z +\gamma\frac{\beta}{c} {\boldsymbol H}_y = &
\varepsilon\left( \gamma {\boldsymbol E}_z + \gamma\beta c{\boldsymbol B}_y \right) , \\
\\
{\boldsymbol H}_x = &\frac{1}{\mu}{\boldsymbol B}_x , \\
\\
\gamma{\boldsymbol H}_y + \gamma\beta c {\boldsymbol D}_z = &
\frac{1}{\mu}\left( \gamma {\boldsymbol B}_y + \gamma\frac{\beta}{c} {\boldsymbol E}_z \right) ,\\
\\
\gamma{\boldsymbol H}_z - \gamma\beta {c} {\boldsymbol D}_y = &
\frac{1}{\mu}\left( \gamma {\boldsymbol B}_z - \gamma\frac{\beta}{c} {\boldsymbol E}_y \right) \\
\\\end{split}\]
あるいは、両辺の共通ファクターを整理して
(5.14)¶\[\begin{split}\begin{cases}
{\boldsymbol D}_x = & \varepsilon {\boldsymbol E}_x\\
\\
{\boldsymbol D}_y - \frac{\beta}{c} {\boldsymbol H}_z = &
\varepsilon\left( {\boldsymbol E}_y - \beta c{\boldsymbol B}_z \right) \\
\\
{\boldsymbol D}_z + \frac{\beta}{c} {\boldsymbol H}_y = &
\varepsilon\left( {\boldsymbol E}_z + \beta c{\boldsymbol B}_y \right) \\
\\
{\boldsymbol H}_x = &\frac{1}{\mu}{\boldsymbol B}_x\\
\\
{\boldsymbol H}_y + \beta c {\boldsymbol D}_z = &
\frac{1}{\mu}\left( {\boldsymbol B}_y + \frac{\beta}{c} {\boldsymbol E}_z \right) \\
\\
{\boldsymbol H}_z - \beta {c} {\boldsymbol D}_y = &
\frac{1}{\mu}\left( {\boldsymbol B}_z - \frac{\beta}{c} {\boldsymbol E}_y \right) \\
\end{cases}\end{split}\]
となります。
これらの式は、
(5.15)¶\[\begin{split}\begin{cases}
{\boldsymbol D} + \frac{\boldsymbol v}{c^2}\times {\boldsymbol H} = &
\varepsilon \left({\boldsymbol E} + {\boldsymbol v}\times {\boldsymbol B} \right)\\
\\
{\boldsymbol H} - {\boldsymbol v} \times {\boldsymbol D} = &
\frac{1}{\mu} \left( {\boldsymbol B} - \frac{\boldsymbol v}{c^2}\times {\boldsymbol E} \right)\\
\end{cases}\end{split}\]
とまとめて表すことができます。あるいは、
(5.16)¶\[\begin{split}\begin{cases}
{\boldsymbol {\vec D}} = & \varepsilon {\boldsymbol {\vec E}}
+ {\boldsymbol {\vec v}}\times\left( \varepsilon {\boldsymbol {\vec B}} - \varepsilon_0 \mu_0 {\boldsymbol {\vec H}}\right) \\
{\boldsymbol {\vec B}} = & \mu {\boldsymbol {\vec H}} - {\boldsymbol {\vec v}}\times\left(\mu {\boldsymbol {\vec D}} - \mu_0 \varepsilon_0{\boldsymbol {\vec E}} \right)\\
\end{cases}\end{split}\]
- 1
真空中では\(\mu=\mu_0, \varepsilon=\varepsilon_0\)から、これらの式の右辺第二項は0となります, つまり真空中では, \({\boldsymbol D} =\varepsilon_0 {\boldsymbol E}, {\boldsymbol H} = \frac{1}{\mu_0} {\boldsymbol B}\)ということです。 なぜならこの場合、二つの式を組み合わせることで、\({\boldsymbol B} - \mu_0 {\boldsymbol H}= - \mu_0 {\boldsymbol v}\times\left({\boldsymbol D} - \varepsilon_0{\boldsymbol E} \right)= -\mu_0\varepsilon_0 {\boldsymbol v}\times\left({\boldsymbol v}\times \left({\boldsymbol B}-\mu_0{\boldsymbol H}\right)\right)\)となり、この両辺の速度\({\boldsymbol {\vec v}}\)との内積を考えることにより、 直ちに\({\boldsymbol v}\cdot\left({\boldsymbol B} - \mu_0 {\boldsymbol H}\right) = 0\)が導かれます。 これを更に前式に代入することで、\({\boldsymbol B} - \mu_0 {\boldsymbol H}= +\mu_0\varepsilon_0 {\boldsymbol v}\cdot{\boldsymbol v} \left({\boldsymbol B} - \mu_0 {\boldsymbol H}\right)\) となり、結局\({\boldsymbol B} - \mu_0 {\boldsymbol H} =0\)が結論されます。これから直ちに、 \({\boldsymbol D} - \varepsilon_0 {\boldsymbol E} =0\)も結論されます。
- 2
\({\boldsymbol D} - {\boldsymbol H}\)対応を意識するなら、 \(\begin{cases} {\boldsymbol {\vec D}} = & \varepsilon {\boldsymbol {\vec E}} + {\boldsymbol {\vec v}}\times\left( \varepsilon {\boldsymbol {\vec B}} - \varepsilon_0 \mu_0 {\boldsymbol {\vec H}}\right) \\{\boldsymbol {\vec H}} = & \frac{1}{\mu} {\boldsymbol {\vec B}} - {\boldsymbol {\vec v}}\times\left({\boldsymbol {\vec D}} - \frac{\mu_0 \varepsilon_0}{\mu}{\boldsymbol {\vec E}} \right)\\\end{cases}\) などとするべきであろうか。
Pauli[A-3]にしたがって、これらの方程式を\(\vec{\boldsymbol D}\)および\(\vec{\boldsymbol B}\)について解いてみます。 まず、両辺と \({\boldsymbol {\vec v}}\)の内積をとって、
(5.17)¶\[\begin{split}\begin{cases}
\vec{\boldsymbol v} \cdot {\boldsymbol D} = & \varepsilon \vec{\boldsymbol v} \cdot {\boldsymbol E} \\
\\
\vec{\boldsymbol v} \cdot {\boldsymbol B} = & \mu \vec{\boldsymbol v} \cdot {\boldsymbol H}
\end{cases}\end{split}\]
であることに注意しておきます。これは、２階の反対称テンソルは進行方向に沿った成分は観測系と物質の静止系でおなじ成分を持つことに対応しています。
電場\(\boldsymbol{E}\)および磁束密度\(\boldsymbol{B}\)を電束密度\(\boldsymbol{D}\)および磁場\(\boldsymbol{H}\)で 書き表す様にこれらの式の変形を考えます。 式-5.16の右辺の\(\boldsymbol{D}\)および\(\boldsymbol{B}\)にもう一方の式を代入して、
(5.18)¶\[\begin{split}{\boldsymbol D} = & \varepsilon {\boldsymbol E} + {\boldsymbol v}\times\left( \varepsilon{\boldsymbol B} - \varepsilon_0\mu_0 {\boldsymbol H}\right) \\
= & \varepsilon {\boldsymbol E} + {\boldsymbol v}\times\left( \varepsilon\left[\mu {\boldsymbol H} - {\boldsymbol v}\times\left(\mu {\boldsymbol D} - \mu_0 \varepsilon_0{\boldsymbol E} \right)\right] - \varepsilon_0\mu_0 {\boldsymbol H}\right) \\
= & \varepsilon {\boldsymbol E} + \left(\varepsilon\mu -\varepsilon_0\mu_0\right)\vec{\boldsymbol v}\times \vec{\boldsymbol H}
- \varepsilon\vec{\boldsymbol v}\times \vec{\boldsymbol v}\times \left(\mu {\boldsymbol D} - \mu_0 \varepsilon_0{\boldsymbol E} \right) \\
= & \varepsilon {\boldsymbol E} + \left(\varepsilon\mu -\varepsilon_0\mu_0\right)\vec{\boldsymbol v}\times \vec{\boldsymbol H}
- \varepsilon \vec{\boldsymbol v}\cdot\left(\mu {\boldsymbol D} - \mu_0 \varepsilon_0{\boldsymbol E} \right) \vec{\boldsymbol v}
+ \varepsilon {\boldsymbol v}^2 \left(\mu {\boldsymbol D} - \mu_0 \varepsilon_0{\boldsymbol E} \right) \\
= & \varepsilon {\boldsymbol E} + \left(\varepsilon\mu -\varepsilon_0\mu_0\right)\vec{\boldsymbol v}\times \vec{\boldsymbol H}
- \left(\mu\varepsilon - \mu_0 \varepsilon_0\right)\vec{\boldsymbol v}\cdot{\boldsymbol E} \vec{\boldsymbol v}
+ {\boldsymbol v}^2 \varepsilon\left(\mu {\boldsymbol D} - \mu_0 \varepsilon_0{\boldsymbol E} \right) \\
= & \left(1- \frac{v^2}{c^2}\right)\varepsilon {\boldsymbol E}
+ \left(\varepsilon\mu -\varepsilon_0\mu_0\right)\left(\vec{\boldsymbol v}\times\vec{\boldsymbol H}
-\varepsilon\left(\vec{\boldsymbol v}\cdot{\boldsymbol E}\right)\vec{\boldsymbol v} \right)
+ {\boldsymbol v}^2 \varepsilon\mu {\boldsymbol D} \\
= & \frac{1}{1 -\varepsilon\mu {\boldsymbol v}^2}\left[
\left(1- \frac{v^2}{c^2}\right)\varepsilon {\boldsymbol E}
+ \left(\varepsilon\mu -\varepsilon_0\mu_0\right)\left(
\vec{\boldsymbol v}\times\vec{\boldsymbol H} - \varepsilon\left(\vec{\boldsymbol v}\cdot{\boldsymbol E}\right)\vec{\boldsymbol v}
\right)
\right]\end{split}\]
となります。また、同様に、
(5.19)¶\[\begin{split}{\boldsymbol B} = & \mu {\boldsymbol H} - {\boldsymbol v}\times\left(\mu {\boldsymbol D} - \mu_0 \varepsilon_0{\boldsymbol E} \right)\\
= & \mu {\boldsymbol H} - {\boldsymbol v}\times\left(\mu \left[\varepsilon {\boldsymbol E} + {\boldsymbol v}\times\left( \varepsilon{\boldsymbol B} - \varepsilon_0\mu_0 {\boldsymbol H}\right)\right] - \mu_0 \varepsilon_0{\boldsymbol E} \right)\\
= & \mu {\boldsymbol H} - \left(\mu\varepsilon -\mu_0\varepsilon_0\right)\vec{\boldsymbol v}\times\vec{\boldsymbol E}
- \mu\vec{\boldsymbol v}\times{\boldsymbol v}\times\left( \varepsilon{\boldsymbol B} - \varepsilon_0\mu_0 {\boldsymbol H}\right) \\
= & \mu {\boldsymbol H} - \left(\mu\varepsilon -\mu_0\varepsilon_0\right)\vec{\boldsymbol v}\times\vec{\boldsymbol E}
- \mu\vec{\boldsymbol v}\cdot\left( \varepsilon{\boldsymbol B} - \varepsilon_0\mu_0 {\boldsymbol H}\right)\vec{\boldsymbol v}
+ \mu{\boldsymbol v}^2 \left( \varepsilon{\boldsymbol B} - \varepsilon_0\mu_0 {\boldsymbol H}\right) \\
= & \frac{1}{1- \varepsilon\mu {\boldsymbol v}^2} \left[
\left(1-\frac{{\boldsymbol v}^2}{c^2}\right)\mu \vec{\boldsymbol H}
- \left(\mu\varepsilon -\mu_0\varepsilon_0\right)
\left(
\vec{\boldsymbol v}\times\vec{\boldsymbol E}
+ \mu \left( \vec{\boldsymbol v}\cdot\vec{\boldsymbol H} \right) {\mathbf {\vec v}}
\right)\right]\end{split}\]
となります。
(5.20)¶\[\begin{split} \varepsilon {\boldsymbol E} & = {\boldsymbol D} - {\boldsymbol v}\times\left( \varepsilon{\boldsymbol B} - \varepsilon_0\mu_0 {\boldsymbol H}\right) \\
{} & = {\boldsymbol D} - \left(\varepsilon\mu -\varepsilon_0\mu_0\right)\vec{\boldsymbol v}\times \vec{\boldsymbol H}
+ \varepsilon \vec{\boldsymbol v}\cdot\left(\mu {\boldsymbol D} - \mu_0 \varepsilon_0{\boldsymbol E} \right) \vec{\boldsymbol v}
- \varepsilon {\boldsymbol v}^2 \left(\mu {\boldsymbol D} - \mu_0 \varepsilon_0{\boldsymbol E} \right) \\\end{split}\]
これらの式を変形して、整理すると、動いている物体中の電磁場に関する関係式:
(5.21)¶\[\begin{split}\begin{cases}
{\boldsymbol D} = &
\frac{1}{1 -\varepsilon\mu {\boldsymbol v}^2}\left[
\left(1- \frac{v^2}{c^2}\right)\varepsilon {\boldsymbol E}
+ \left(\varepsilon\mu -\varepsilon_0\mu_0\right)\left(
\vec{\boldsymbol v}\times\vec{\boldsymbol H} - \varepsilon\left(\vec{\boldsymbol v}\cdot{\boldsymbol E}\right)\vec{\boldsymbol v}
\right)
\right]\\
{\boldsymbol B}
= & \frac{1}{1- \varepsilon\mu {\boldsymbol v}^2} \left[
\left(1-\frac{{\boldsymbol v}^2}{c^2}\right)\mu \vec{\boldsymbol H}
- \left(\mu\varepsilon -\mu_0\varepsilon_0\right)
\left(
\vec{\boldsymbol v}\times\vec{\boldsymbol E}
+ \mu \left( \vec{\boldsymbol v}\cdot\vec{\boldsymbol H} \right) \vec{\boldsymbol v}
\right)\right]\\
\end{cases}
\\
\begin{cases}
{\boldsymbol {\vec E}} = & \frac{1}{\varepsilon \left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right)}
\left[ \left(1- \varepsilon\mu v^2\right) {\boldsymbol {\vec D}}
- \left( \varepsilon\mu - \varepsilon_0\mu0\right) \left(
{\vec{\boldsymbol v}}\times{\vec{\boldsymbol H}}
- \left({\boldsymbol {\vec v}}\cdot{\boldsymbol {\vec D}}\right) {\boldsymbol{\vec v}}
\right)
\right]
\\
{\boldsymbol {\vec H}} =& \frac{1}{\mu\left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right) }
\left[
\left(1 - \varepsilon\mu v^2\right){\boldsymbol {\vec B}}
+ \left( \varepsilon\mu- \mu_0 \varepsilon_0 \right)\left({\boldsymbol v}\times{\boldsymbol {\vec E}}
+ \left( {\boldsymbol {\vec v}}\cdot {\boldsymbol {\vec B}} \right) \vec{\boldsymbol {\vec v}} \right)
\right]\\
\end{cases}\end{split}\]
が導かれました。
ここで、砂川にしたがって物質として誘電体だけをかんがえると、\(\mu = \mu_0\)とすることができますから、
(5.22)¶\[\begin{split}\begin{cases}
{\boldsymbol D} = & \varepsilon {\boldsymbol E} + {\boldsymbol v} \times \left(\varepsilon{\boldsymbol B} - \varepsilon_0\mu_0 {\boldsymbol H}\right) \,,\\
\\
\frac{1}{\mu_0} {\boldsymbol B} = & {\boldsymbol H } - {\boldsymbol v}\times\left({\boldsymbol D} - \varepsilon_0{\boldsymbol E}\right) \,,\\
\end{cases}\end{split}\]
となります。（つまり、動いている物質中の磁束密度は、磁性をもたない物質であっても、磁場と比例関係にはなりません。)
(5.23)¶\[\begin{split}\begin{cases}
{\boldsymbol D} - \varepsilon_0 {\boldsymbol E} &=
\left(\varepsilon -\varepsilon_0\right) {\boldsymbol E} + {\boldsymbol v} \times \left(\varepsilon{\boldsymbol B} - \varepsilon_0\mu_0 {\boldsymbol H}\right) \\
{} &= \left(\varepsilon -\varepsilon_0\right) {\boldsymbol E}
+ \mu_0{\boldsymbol v} \times \left[
\left(\varepsilon - \varepsilon_0\right) {\boldsymbol H} - \varepsilon {\boldsymbol v}\times\left({\boldsymbol D} - \varepsilon_0{\boldsymbol E}\right)\right] \\
\frac{1}{\mu_0} {\boldsymbol B} &= {\boldsymbol H} - {\boldsymbol v}\times\left[
\left( \varepsilon - \varepsilon_0\right) {\boldsymbol E}
+ {\boldsymbol v}\times\left( \varepsilon{\boldsymbol B} - \varepsilon_0\mu_0{\boldsymbol H} \right)
\right] \\
\end{cases}\end{split}\]
両辺の\(\rm rot\,\) をとり、Maxwell方程式を代入すれば、
(5.24)¶\[\begin{split}{\rm rot\,}{\boldsymbol D} = & \varepsilon {\rm rot\,}{\boldsymbol E}
+ {\rm rot\,}\left[ {\boldsymbol v}\times\left(\varepsilon{\boldsymbol B} - \varepsilon_0\mu_0 {\boldsymbol H}\right)\right]\\
= & -\varepsilon_0 \frac{\partial B}{\partial t}
+ {\rm rot\,}\left[ {\boldsymbol v}\times\left(\varepsilon{\boldsymbol B} - \varepsilon_0\mu_0 {\boldsymbol H}\right)\right]\\
= & -\varepsilon_0 \frac{\partial B}{\partial t}
+ {\rm rot\,}\left[ {\boldsymbol v}\times\left(\varepsilon - \varepsilon_0\right)\mu_0 {\boldsymbol H}\right] + O(v^2)\\
\frac{1}{\mu_0} {\rm rot\,} {\boldsymbol B}
= & {\rm rot\,}{\boldsymbol H} - {\rm rot\,}\left[ {\boldsymbol v}\times\left({\boldsymbol D} - \varepsilon_0 {\boldsymbol E}\right) \right]\\
= & \frac{\partial {\boldsymbol D}}{\partial t} + {\boldsymbol j} - {\rm rot\,}\left[{\boldsymbol v}\times\left({\boldsymbol D} - \varepsilon_0{\boldsymbol E}\right)\right]\\
= & \frac{\partial {\boldsymbol D}}{\partial t} + {\boldsymbol j}
- {\rm rot\,}\left[{\boldsymbol v}\times\left(\varepsilon - \varepsilon_0\right){\boldsymbol E}\right] + O(v^2)\\\end{split}\]
これらの式の最後の項は、次節で紹介するWilsonの実験, Röntgen-Eichenwaldの実験 などによって実験的に確認されている。