4.1. ローレンツ変換に対して共変なMaxwell方程式
Maxwell方程式は通常の３次元ベクトル表記では、
(4.1)\[\begin{split}\left\lbrace
\begin{split}
\mathbf{div} \vec{\mathbf{D}} &= \rho
\\
\mathbf{rot} \vec{\mathbf{H}} - \frac{\partial \vec{\mathbf{D}}}{\partial t}&= \vec{\mathbf{j}}
\\
\mathbf{div} \vec{\mathbf{B}} &= 0
\\
\mathbf{rot} \vec{\mathbf{E}} + \frac{\partial \vec{\mathbf{B}}}{\partial t} &=0
\end{split}
\right.\end{split}\]
と表されます。 誘電率 \(\varepsilon\) , 透磁率 \(\mu\) の物質中では、電場／磁場と電束密度／磁束密度は
(4.2)\[\begin{split}\left\lbrace
\begin{split}
{\mathbf{\vec D}} &= \varepsilon {\mathbf{\vec E}} , \\
{\mathbf{\vec B}} &= \mu {\mathbf{\vec H}}
\end{split}
\right.\end{split}\]
で関係付けられます。
上記のMaxwell方程式(式-4.1)の第三式および第四式から、
ベクトルポテンシャル \({\mathbf A}\) とスカラ−ポテンシャル \(\phi\) を導入して、
磁束密度および電場を、
(4.3)\[\begin{split}\left\lbrace
\begin{split}
\mathbf{\vec B} & = \mathbf{rot} \mathbf{\vec A}\\
\mathbf{\vec E} & = -\mathbf{grad} {\phi} - \frac{\partial \mathbf{\vec A}}{\partial t}
\end{split}\right.\end{split}\]
とかけることがわかります。
ローレンツ変換に対する共変性を示すために、これらの式をMinkowski空間の座標系で書き表す。
4次元のベクトルポテンシャル \(A^\mu\) を
(4.4)\[\begin{split}A^\mu = \left( \phi, \ c \mathbf{\vec A} \right)\\
A_\mu = \left( \phi, -c \mathbf{\vec A} \right)\end{split}\]
とすると
(4.5)\[\begin{split}c \mathbf{B}_x & = c \frac{\partial \mathbf{A}_z}{\partial y}
- c \frac{\partial \mathbf{A}_y}{\partial z} \\
& = -\frac{\partial A_3}{\partial x^2} + \frac{\partial A_2}{\partial x^3} \\
& = {\partial_3} A_2 - {\partial_2} A_3\end{split}\]
および
(4.6)\[\begin{split}\mathbf{E}_x & = -\frac{\partial \phi}{\partial x} - \frac{\partial \mathbf{A}_x}{\partial t} \\
& = - \frac{\partial A_0}{\partial x^1} + \frac{\partial A_1}{\partial x^0} \\
& = \left({\partial_0 A_1} -{\partial_1 A_0}\right)\end{split}\]
などとなる。４次元の反対称テンソル \(F_{\mu\nu}\) を
(4.7)\[\begin{split}F_{\mu\nu} \equiv \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu\\
\\
F_{\mu\nu} = - F_{\nu\mu}\end{split}\]
(B&Dでは \(F^{\mu\nu} \equiv \partial^\nu A^\mu - \partial^\nu A^\mu\) としているので注意。)
によって定義する。このとき、電場\(\vec{\mathbf E}\)および磁束密度\(\vec{\mathbf B}\)は、4次元の電磁場テンソル\(F_{\mu\nu}\)を使って、
(4.8)\[\begin{split}F_{23} & = \partial_2 A_3 - \partial_3 A_2\\
& = - c \frac{\partial \mathbf{A}_z}{\partial y} + c \frac{\partial \mathbf{A}_y}{\partial z} = -c \mathbf{B}_x \\
F_{12} & = \partial_1 A_2 - \partial_2 A_1\\
& = - c \frac{\partial \mathbf{A}_y}{\partial x} + c \frac{\partial \mathbf{A}_x}{\partial y} = -c \mathbf{B}_z \\
F_{01} & = \partial_0 A_1 - \partial_1 A_0\\
& = - \frac{\partial \mathbf{A}_x}{\partial t} - \frac{\partial \phi }{\partial x} = \mathbf{E}_x\\\end{split}\]
(4.9)\[\begin{split}c \mathbf{B}_x = - F_{23}, c \mathbf{B}_y = - F_{31}, c \mathbf{B}_z = - F_{12}\\
\\
\mathbf{E}_x = F_{01}, \mathbf{E}_y = F_{02}, \mathbf{E}_z = F_{03}\end{split}\]
とかける。又、\(F_{\mu\nu}\)の定義より、
(4.10)\[\partial_\mu F_{\nu\lambda} + \partial_\nu F_{\lambda\mu} + \partial_\lambda F_{\mu\nu} = 0\]
が成り立つが、これらは次に示すように、Maxwell方程式の第三式，第四式にほかならない。
(4.11)\[\begin{split}\partial_0 F_{i j} + \partial_i F_{j 0} + \partial_j F_{0 i} \\
= & c \epsilon_{i j k} {\partial_0} B_k - \partial_i E_{j} + \partial_j E_{i} \\
= & \epsilon_{i j k} \left( {\partial_t} \mathbf{\vec B} + \mathbf{rot} \mathbf{\vec E}\right)_k
\\
\partial_1 F_{2 3} + \partial_2 F_{3 1} + \partial_3\lambda F_{1 2} \\
= & c \left( {\partial_x} B_x +\partial_y B_{y} + \partial_z B_{z} \right)\\
= & \mathbf{div} \mathbf{\vec B}\end{split}\]
上式の三つの指標\(\mu, \nu\)および\(\lambda\)のうち二つが等しい場合(例えば、\(\mu=\lambda\))には、
電磁場テンソルが反対称であることから、
(4.12)\[\begin{split}\partial_\mu F_{\nu\lambda} + \partial_\nu F_{\lambda\mu} + \partial_\lambda F_{\mu\nu} \\
= \partial_\mu F_{\nu\mu} + \partial_\nu F_{\mu\mu} + \partial_\mu F_{\mu\nu} \\
= \partial_\mu F_{\nu\mu} + 0 - \partial_\mu F_{\nu\mu}
\equiv 0\end{split}\]
と自明に0となることに注意しておく。
更に 四次元の磁場／電束密度テンソル \(H_{\mu\nu}\) と四次元の電流密度 \(j^\mu\) を
(4.13)\[\begin{split}\mathbf{H}_x = - H_{23}, \mathbf{H}_y =& - H_{31}, \mathbf{H}_z = - H_{12}\\
c \mathbf{D}_x = H_{01}, c \mathbf{D}_y =& H_{02}, c \mathbf{D}_z = H_{03}\\
H_{\mu\nu} = - H_{\nu\mu}\\
\\
j^\mu = \left(c \rho, \mathbf{j}\right), & j_\mu = \left(c \rho, -\mathbf{j}\right)\end{split}\]
で定義する。なお真空中では, \(H_{\mu\nu}\) と \(F_{\mu\nu}\) は、
(4.14)\[H_{\mu\nu} = c \varepsilon_0 F_{\mu\nu} = \frac{1}{c \mu_0} F_{\mu\nu}\]
という比例関係にあることに注意しておく( \(c ^2 = \frac{1}{\mu_0 \epsilon_0}\)である事に注意。)。
Maxwell方程式の第一式および第二式は
(4.15)\[\begin{split}\sum_{k=x,y,z} \frac{\partial D_k}{\partial x_k} &= \rho \\
\frac{\partial D_x}{\partial x} +\frac{\partial D_y}{\partial y}+\frac{\partial D_z}{\partial z} &= \rho \\
\sum_{\nu=1,2,3} \frac{\partial H_{0\nu}}{\partial x^\nu} &= c \rho = j_0 \\
= -{\partial^\nu H_{0\nu}} &= j_0\end{split}\]
又、
(4.16)\[\begin{split}\frac{\partial \mathbf{H}_x}{\partial y} - \frac{\partial \mathbf{H}_y}{\partial x} - \frac{\partial \mathbf{D}_z}{\partial t} = \mathbf{j}_z \\
= \frac{\partial H_{23}}{\partial x^2} - \frac{\partial H_{31}}{\partial x^1} -\frac{\partial H_{03}}{\partial x^0} = -j_3 \\
= \frac{\partial H_{32}}{\partial x_2} +\frac{\partial H_{31}}{\partial x_1} + \frac{\partial H_{30}}{\partial x_0} = -j_3\end{split}\]
などから
(4.17)\[\partial^\nu H_{\mu\nu}= - j_\mu\]
あるいは
(4.18)\[\partial^\nu H_{\nu\mu}= j_\mu\]
とまとめられる。
また電荷の保存則
(4.19)\[\begin{split}\frac{\partial \rho}{\partial t} +\mathbf{div} \mathbf{j} = 0 \\
\frac{\partial \left(c \rho\right)}{\partial \left(c t\right)} +\mathbf{div} \mathbf{j} = 0 \\\end{split}\]
はローレンツ変換に対して共変な形式
(4.20)\[\partial_\mu j^\mu = 0\]
とかける。
4.2. 電流と電荷に働く力
Maxwell方程式が表現する、クーロンの法則／ガウスの法則、電磁誘導の法則、アンペールの法則
などが、特殊相対性理論の要請するローレンツ変換に対する共変性を持つこと意味していることを
考えるために次のような状況を考える。
トータルの荷電が0であるような電線を考える。電流はこの電線の中を電子が等速度\(v\)で運動することによって発生していると考える。アンペールの法則にしたがって、
この電線の周りに静磁場が発生する。電場は全荷電は0なので発生しない。
(4.21)\[ \begin{align}\begin{aligned}\rho_e + \rho_I = 0\\\vec{j} = \rho_e \vec{v}\end{aligned}\end{align} \]
この電線に対して静止している系で静止している電荷\(q\)に対して、力は働かない。
ここで、電線内の電子が静止している慣性系を考える。
この慣性系では、電子は静止し、電線本体の荷電が速度\(-v\)で移動している。
すなわち、慣性系、\(\rho_e\)の静止系、では：
(4.22)\[\vec{j'} = -\rho'_I \vec{v}\]
である。
ガリレイ変換だけを考えると、この慣性系では、
(4.23)\[\rho'_e + \rho'_I = 0\]
と予想されるが、これでは電子の静止系では、テスト荷電は\(-v\)で
動いているから、電流の作る磁場と相互作用を行い、力を受けてしまう。
静止系と運動系 の電荷密度と電流のローレンツ変換を電子による家電および電流\((c\rho_e, {\mathbf j_e})\)と電線本体
の荷電および電流\((c\rho_I, {\mathbf j_I})\)についてそれぞれ考えると、
(4.24)\[\begin{split}c \rho'_I = & \gamma \left(c \rho_I - \beta {\mathbf j_I}_x\right) = \gamma c\rho_I
\\
c \rho'_e = & \gamma \left(c \rho_e - \beta {\mathbf j_e}_x\right) = \gamma \left(1-\beta^2\right) c \rho_e= \frac{c \rho_e}{\gamma}
\\\end{split}\]
となる。ここで、
(4.25)\[\begin{split}{\mathbf j_I} = 0
\\
{\mathbf j_e} = \rho_e {\mathbf v}
\\\end{split}\]
をつかった。これより、観測系で全荷電がゼロであるという条件:
(4.26)\[\begin{split}\rho_e + \rho_I = 0
\\
\gamma^2 \rho'_e + \rho'_I = 0\end{split}\]
を使うと、運動系での全電荷密度は、
(4.27)\[\begin{split}\rho'_I + \rho'_e = & \gamma\rho_I + \gamma\left(1-\beta^2\right)\rho_e
\\
= & \gamma\beta^2\rho_I = \beta^2\rho'_I \neq 0
\\\end{split}\]
となり、ゼロではなくなる。
\(q\)に働く力は、
(4.28)\[\begin{split}\vec{F'} = & q \vec{E'} + q(-\vec{v})\times\vec{B'}
\\
E'_r = & \frac{1}{2\pi \varepsilon_0}\frac{ \rho'_e + \rho'_I }{r}
\\
B'_\theta = &\frac{\mu}{2\pi} \frac{j'}{r}\end{split}\]
より
(4.29)\[\begin{split}\vec{F'}_r &= q \frac{1}{2\pi \varepsilon_0}\frac{ \rho'_e + \rho'_I }{r}
- q\vec{v}\frac{\mu_0}{2\pi} \frac{j'}{r} \\
&= \frac{q}{2\pi\varepsilon_0 r} \left( (1-\gamma^{-2}) \rho'_I - v^2\varepsilon_0 \mu_0 \rho'_I \right)\end{split}\]
である。
(4.30)\[\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\]
を代入すれば、電線の運動系で見たときの荷電粒子が受ける力が０であることが確かめられる。
つまり、電荷密度と電流がローレンツ変換のベクトルのように
変換されることで、
二つの慣性系で同じMaxwell方程式を使って導かれる物理的な現象は同じになることがわかる。
クーロンの法則、アンペールの法則はローレンツ変換により共変なMaxwell方程式にふくまれていることの結果と考えることができる。
あるいは、物理量が正しくローレンツ変換することを考慮しないと、
静止系と運動系で矛盾が起きてしまう。
ここで、荷電（と電流）がローレンツ変換に従う事を認める代わりに、ローレンツ力の定義を変える等の方法も考えられる。
いずれにせよこれは電磁場と荷電粒子が Galilei 変換に共変な方程式に従うと言う要請に他ならず、
光速度が観測者の速度に依らず一定であるという物理的観測事実に合わない。