6. 特殊相対論の実験的検証

砂川の教科書ではMaxwell方程式のローレンツ変換に対する不変性の 実験的証拠として、

が挙げられている。これらの実験は歴史的には重要な実験の一つとなっている。 (これらの実験は、Lorentz変換を用いて前節で導かれた運動している物質中でのMaxwell方程式と 矛盾しない結果を与えている。）

現在では、特殊相対性理論をサポートする実験が数多く知られている。

参考URL http://hwbb.gyao.ne.jp/maxmisu-pb/sub/g3file/explink_rel.html

このWeb Pageに拠れば:

アインシュタインの理論に最も重要な役割を果たした実験は Arago, Fizeau及びHoekによるもので、１８８５年、Lorentz はこの実験により多くのエーテル理論に厳格な物理的条件が課せられる事を示しました。

又、１９４９年、Robertson ( Review of Modern Physics 21, p. 378参照)は以下の３つの実験が必然的に特殊相対性理論(SRT)を導く事を示しました。

また、Einsteinは自著「相対論の意味」のなかで、マイケルソン・モーレーの実験、Fizeauの実験、ド・ジッタの二重星の周期に関する観測を Maxwell方程式の証拠としてあげている。

ここでは、これらの実験の内、Fizeauの実験、横ドップラー効果および Michelson-Moley実験について、解説します。

6.1. Fizeauの実験と速度の合成則

6.1.1. Fizeauの実験

屈折率\(n\) の物質中では、光はその物質にたいして速度\(u'=\frac{c}{n}\)で進んでいく。

Fizeauは流れる流体中の光の速度\(u\)をその流体の速度\(v\)を変えながら測定した(1985）。その結果は、

(6.1)\[u = \frac{c}{n} + \left(1- \frac{1}{n^2}\right) v\]

であった。この結果は、特殊相対論の立場からは、ローレンツ変換による速度の合成則の結果として簡単に説明できる。

6.1.2. 速度の合成則

今観測者の慣性系 K と、それに対して速度 \(v\)で動いている慣性系　K’　を考える。この二つの系の間の ローレンツ変換は、

(6.2)\[\begin{split}\left\lbrace\begin{split} x' = {}& \gamma( x - v t) , \\ t' = {}& \gamma( t - \frac{v}{c^2} x) \end{split}\right.\end{split}\]

である。系 K' で速度　u' で動いている粒子を系　K で観測した時の速度　u　を求めてみる。

系 K'では、この粒子の座標は

(6.3)\[x' = u' t'\]

である。したがって、系　K　で観測した粒子の軌道は、

(6.4)\[\begin{split}\left\lbrace\begin{split} x = {}&{}\gamma( x' + v t') =\gamma(u' + v)t' , \\ t = {}&{}\gamma( t' +\frac{v}{c^2} x') = \gamma(1+ \frac{v u'}{c^2})t' \end{split}\right.\end{split}\]

となる。これより系 Kで観測した粒子の速度 \(u\)は

(6.5)\[u = \frac{u' + v}{1 + \frac{u' v}{c^2}}\]

である。

6.1.3. Fizeauの実験の特殊相対性理論による解釈

前節で導かれた速度の合成則をFizeauの実験にあてはめると、移動している物質中での光の速度は、\(u'=\frac{c}{n}\)ですから、

(6.6)\[\begin{split}u = & \frac{\frac{c}{n} + v}{1 + {\color{red}{\frac{v}{n c}} }} \\ = & \left(\frac{c}{n} + v\right) \left( {1 - {\color{red}{\frac{v}{n c}}}}\right) + O\left(\frac{v^2}{c^2}\right) \\ = &\frac{c}{n} + \left(1 - {\color{red}{\frac{1}{n^2}}} \right) v + O\left(\frac{v^2}{c^2}\right)\end{split}\]

となって、Fizeauの結果を再現します。

6.2. 横ドップラー効果と時計の遅れ

6.2.1. 時計の遅れ

いま移動系 K' の原点に置かれた時計で、時刻が\(t'\)の時空点をP1, 時刻が\(t'+T_0\)の時空点をP2, とする。時計がx軸方向に速度\(v\)で移動して見える観測系 Kでは、 時空点P1の座標は、

(6.7)\[\begin{split}x_1 = & \gamma( 0 + v t') \\ t_1 = & \gamma( t' +\frac{v}{c^2} 0)\end{split}\]

また、時空点P2の時空点は、

(6.8)\[\begin{split}x_2 = & \gamma( 0 + v (t' + T_0)) \\ t_2 = & \gamma( t'+ T_0 +\frac{v}{c^2} 0) \\\end{split}\]

となる。これから、K でみた時の二つの時空点の時間差は、

(6.9)\[T = \gamma T_0　> T_0\]

となる。すなわち、観測系 K　で時間 \(T\) が経過したとき、　速度 \(v\) で移動している時計は、 \(T_0\) しか進んでいないように観測者にはみえる。これを時計の遅れとよぶ。

蛇足ですが、

(6.10)\[x_2 - x_1 = \gamma v T_0 = v \left( t_2 - t_1 \right)\]

が成り立っています。

6.2.2. 横ドップラー効果

運動する媒質中の光を考える[A-3]。今簡単のため、媒質はX軸方向に速度\(v\)　で移動しており、光の進行方向はそれに対して 角度\(\alpha\)の向きでx-y平面内を移動しているとする。

四次元的な波数ベクトルを\((k^\mu=\frac{\omega}{c}, k_x, k_y, k_z)\)と書くと、位相

(6.11)\[\phi = \eta^{\mu\nu} k_\mu x^\nu = \left(\omega t - k_x x - k_y y - k_z z\right)\]

はローレンツ変換に対してスカラーとなる。

四次元的な波数ベクトルのローレンツ変換は、

(6.12)\[\begin{split}\omega/c = & \gamma \left( \omega'/c + \beta k'_x \right) \\ k_x = & \gamma \left( k'_x + \beta \omega'/c \right) \\ k_y = & k'_y \\ k_z = & k'_z\end{split}\]

である。

屈折率\(n\)の媒質に静止した系 K'で

(6.13)\[\begin{split}k'_x = &k' \cos\alpha',\, k'_y = k' \sin\alpha', \, k'_z = 0 \\ v'_{ph} = & \frac{\omega'}{k'} = \frac{c}{n}\end{split}\]

となるから、観測系 K での波数ベクトルは

(6.14)\[\begin{split}\omega = &\gamma \left(\omega' + c \beta k' \cos\alpha' \right) \\ k_x = & k \cos\alpha =\gamma \left( k'\cos\alpha' +\beta\frac{\omega'}{c} \right) \\ k_y = & k\sin\alpha = \ k'_y = \sin\alpha' k',\, k_z= k'_z =0 \\\end{split}\]

となる。これより、

(6.15)\[\begin{split}\omega = &\gamma \left( 1 + n \beta \cos\alpha' \right) \omega' \\ \tan\alpha = &\frac {\sin\alpha'}{\gamma\left( \cos\alpha' +\frac{\beta}{n} \right)} \\ k = & \sqrt{k_x^2 + k_y^2}\\ = & k' \sqrt{\gamma^2\left(\cos\alpha' + \frac{\beta}{n}\right)^2 + \sin\alpha'^2} \\\end{split}\]

これらの第一の式は相対論的なドップラー効果を表している。また、第2式は光行差とよばれる効果を表している。

観測系での位相速度\(v_{ph} = \frac{\omega}{k}\)は

(6.16)\[\begin{split}v_{ph} = &\frac{\omega}{k} \\ = & \frac{c \left( 1 + n \beta \cos\alpha' \right)} { \sqrt{ \left( n \cos\alpha' + \beta \right)^2 + n^2 {\sin\alpha'}^2\left(1-\beta^2\right) } } \\ = & \frac{c \left( \frac{1}{n} + \beta \cos\alpha' \right)} { \sqrt{ \left( \cos\alpha' + \frac{\beta}{n} \right)^2 + \left(1- {\cos\alpha'}^2\right)\left(1-\beta^2\right) } } \\\end{split}\]

となる。

特に観測系　Kにおいて、\(\alpha=\frac{\pi}{2}\)すなわち\(\cos\alpha=0\)となる場合を考えてみる。 この時、\(\cos\alpha'= - \frac{\beta}{n}\)となるので、

(6.17)\[\begin{split}\omega = &\gamma \left( 1 + n \beta \cos\alpha' \right) \omega' \\ =& \gamma\left(1 - n \beta \frac{\beta}{n}\right)\omega' \\ = & \sqrt{1 - \beta^2} \omega' \le \omega'\end{split}\]

である。これを 横ドップラー効果 とよぶ。

物質の静止系 \(K'\) で\(\alpha' = \frac{\pi}{2}\)の場合には、 \(\cos\alpha' = 0, \sin\alpha' = 1\) ですから、

(6.18)\[ \begin{align}\begin{aligned}:label: eq:doppler5-1\\\begin{split}\omega =& \gamma \omega'= \gamma \frac{c}{n} k' \\ \tan\alpha =& \frac {n}{\gamma \beta} \\ k =& k' \sqrt{\gamma^2\left(\frac{\beta}{n}\right)^2 + 1}= k' \gamma\sqrt{\left(\frac{\beta}{n}\right)^2 + 1-beta^2} \\ v_{ph} = & \gamma \frac{c}{n \sqrt{\gamma^2\left(\frac{\beta}{n}\right)^2 + 1}} \\\end{split}\end{aligned}\end{align} \]