23. Green関数¶

Maxwell方程式:

(23.1)¶\[\begin{split}F^{\mu \nu} \equiv \partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu \\ \partial_\mu F^{\mu \nu} = j^\nu\end{split}\]

において、ローレンツゲージ $\partial_\mu A^\mu =$を使うと、解くべき方程式は、

(23.2)¶\[\Box A^\mu = j^\mu\]

となります。ここで$\Box \equiv \partial_\mu \partial^\mu$を使いました。

この方程式の解の積分形を

(23.3)¶\[A^\mu = \int d^4 x' D(x-x') j^\nu(x')\]

と書いてみます。　$D(x)$はこの方程式のGreen関数と呼ばれます。　Green関数は、

(23.4)¶\[\begin{split}\Box D(x) =& = \partial_\mu \partial^\mu D(x) = \delta^4(x) \\\end{split}\]

の解である。この方程式の解は $\Box \Lambda(x) = 0$の解を加えても解であることから、Green関数はその境界条件に従っていくつかの型に分類されます。 $s^2 = x_\mu x^\mu > 0$かつ $t > 0 (t < 0)$で $D(x) \ne = 0$の条件を満たすGreen関数を遅延Retarded(先進Advance)　Green関数と呼びます。

Fourier変換を使って、Greeen関数は、

(23.5)¶\[\begin{split}D(x) = & \int \frac{d^4k}{(2\pi)^4} \frac{1}{-k_\mu k^\mu} e^{-i k_\mu x^\mu} \\ =& \int \frac{d \omega d^3\vec{\mathbf{k}}} {(2\pi)^4} \frac{1}{-\omega^2/c^2 + \vec{\mathbf{k}}^2 } e^{-i \left(\omega t -\vec{\mathbf{k}}\cdot\vec{\mathbf{x}}\right)} \\\end{split}\]

と書くことができます。このGreen関数の核は極(Pole)を持ちますから、積分を行う際にこの極をどう取り扱うかによって、遅延／先進グリーン関数の違いが現れます。

(23.6)¶\[\begin{split}D(x)_{ret/adv} =& \int \frac{d \omega d^3\vec{\mathbf{k}}} {(2\pi)^4} \frac{1}{-\left(\omega\pm i\epsilon\right)^2/c^2 + \vec{\mathbf{k}}^2 } e^{-i \left(\omega t -\vec{\mathbf{k}}\cdot\vec{\mathbf{x}}\right)} \\ D(x)_{F} =& \int \frac{d \omega d^3\vec{\mathbf{k}}} {(2\pi)^4} \frac{1}{-\omega^2/c^2 + \vec{\mathbf{k}}^2 - i \epsilon} e^{-i \left(\omega t -\vec{\mathbf{k}}\cdot\vec{\mathbf{x}}\right)} \\\end{split}\]

Fは場の量子論などで使われるFeynman's Green関数です。

これらの積分表示の積分路は次のようなものになります。

$\ :math:`\omega`\ integration path for \ :math:`D_{ret}`\$

図-23.1 $\omega$-integration path for $D_{ret}$¶

$\ :math:`\omega`\ integration path for \ :math:`D_{adv}`\$

図-23.2 $\omega$-integration path for $D_{adv}$¶

$\ :math:`\omega`\ integration path for \ :math:`D_{F}`\$

図-23.3 $\omega$integration path for $D_{F}$, Feynman-Green function¶

$\ :math:`\omega`\ integration path for \ :math:`D_{ret}`\$

$\omega$-integration path for $D_{ret}$

$\ :math:`\omega`\ integration path for \ :math:`D_{adv}`\$

$\omega$-integration path for $D_{adv}$

$\ :math:`\omega`\ -integration path for \ :math:`D_{F}`\$

$\omega$-integration path for $D_{F}$, Feynman-Green function

Integration pathes for various Green functions

遅延／先進グリーン関数の積分を実行すると、

$\newcommand\VecBF[1]{\vec{\mathbf{#1}}}$

(23.7)¶\[\begin{split}D_{ret/adv}(x) = & \frac{1}{4 \pi} \frac{1}{r} \theta(\pm x_0) \delta(r \mp x_0), \quad\text{where}\; r\equiv |\VecBF{x}| \\ ＝& \frac{1}{(2\pi)^4} \int d^4k \frac{1}{- k_\mu k^\mu} e^{-i k_mu x^\mu} \\ ＝& \frac{1}{(2\pi)^4} \int d\omega d^3k \frac{1}{- {\omega}^2 + k^2} e^{-i(\omega x^0 - k r \cos \theta)} \\ ＝& \frac{1}{(2\pi)^3} \int_{-\infty}^{\infty} d\omega \int_0^{\infty}k^2d k \frac{1}{- {\omega}^2 + {k}^2}\frac{1}{i k r} \left[e^{-i(\omega x^0 - k r)} -e^{-i(\omega x^0 + k r)} \right] \\ ＝& \frac{1}{(2\pi)^3} \int_{-\infty}^{\infty} d\omega \int_{-\infty}^{\infty}k^2d k \frac{1}{- {\omega}^2 + {k}^2}\frac{1}{i k r} e^{-i(\omega x^0 - k r )} \\ ＝& \frac{1}{(2\pi)^3} \int_{-\infty}^{\infty} d\omega \int_{-\infty}^{\infty}k^2d k\frac{1}{i k r} \frac{-1}{2k}\left[\frac{1}{\omega - k \pm i \epsilon} -\frac{1}{\omega + k \pm i\epsilon}\right] e^{-i(\omega x^0 - k r)} \\ ＝& \frac{1}{(2\pi)^3} \int_{-\infty}^{\infty}k^2d k\frac{1}{i k r} \frac{-1}{2k} (\mp 2\pi i)\left[ e^{-i(k x^0 - k r) } - e^{-i(-k x^0 - k r) }\right]\theta(\pm x_0) \\ ＝& \frac{1}{4\pi} \frac{1}{r} \theta(\pm x_0) \delta(r \mp x_0) \\\end{split}\]

である. ここで　$\omega$の積分時に遅延ポテンシャルの条件$\omega= \pm k \mp i \epsilon$を使っています。

(参考)

(23.8)¶\[D_0(x)\equiv D_{ret}(x) - D_{adv}(x)\]

で定義される関数　$D_0(x)$ は、

(23.9)¶\[\begin{split}D_0(x)＝& \frac{1}{(2\pi)^4} \int d\omega d^3k \left[ \frac{1}{- (\omega+i\epsilon)^2 + k^2} -\frac{1}{- (\omega - i\epsilon )^2 + k^2} \right] e^{-i(\omega x^0 - k r \cos \theta)} \\ ＝& \frac{1}{(2\pi)^4} \int d\omega d^3k \frac{2 \pi i}{2k}\left[\delta(k-\omega) - \delta(k+\omega)\right] e^{-i(\omega x^0 - k r \cos \theta)} \\ ＝& \frac{1}{(2\pi)^4} \int d^3k \frac{2 \pi i}{2k} \left[e^{-i(k x^0 - k r \cos \theta)} - e^{-i(-k x^0 - k r \cos \theta)} \right] \\\end{split}\]

より、

(23.10)¶\[\begin{split}\Box D_0(x) = & 0 \\ D_0(x)|_{x_0=0} = & 0 \\ {\frac{\partial D_0(x)}{\partial x_0}}|_{x_0=0} ＝& \frac{1}{(2\pi)^4} \int d^3k \frac{2 \pi }{2} \left[e^{-i(k x^0 - k r \cos \theta)} + e^{-i(-k x^0 - k r \cos \theta)} \right]|_{x_0=0} \\ ＝& \frac{1}{(2\pi)^3} \int d^3k e^{i(k r \cos \theta)} \\ = &\mathbf{\delta}^3(x) \\\end{split}\]

を満たすことがわかります[砂川：第8章　（2.36)式]。

この遅延／先進グリーン関数をつかって、maxwell方程式の解は：

(23.11)¶\[A^\mu(x) = \int d^4 x' D_{ret/adv}\left(x - x'\right) j^\mu(x')\]

と書き表される。また、式-23.7 を使うと、

(23.12)¶\[\begin{split}A^\mu({\vec r}, t) =& \int d3 {\vec r'} \frac{1}{4\pi} \frac{1}{ \left|{\vec r}-{\vec r'}\right|} j^\mu({\vec r'}, t') \\ \quad & \;{\text ここで}\; t' = t \mp \left|{\vec r}-{\vec r'}\right| \;\end{split}\]

と書き表すことができます。

23.1. ゲージ条件の確認(砂川）¶

砂川にしたがって、前節のGreen関数を用いた解がゲージ条件を満たしていることを確認する。

(23.13)¶\[\begin{split}A^\mu = & \int d^4 x' D(x-x') j^\mu(x') \\ = & \int d^4 x' \frac{1}{4\pi} \frac{1}{ |\VecBF{x} - \VecBF{x}'| } \delta(|\VecBF{x} - \VecBF{x}'| \mp \left(x_0-x'_0\right)) j^\mu(x') \\ = & \int d^3 \VecBF{x}' \frac{1}{4\pi} \frac{1}{ |\VecBF{x} - \VecBF{x}'| } j^\mu(\VecBF{x}', x_0\mp |\VecBF{x} - \VecBF{x}'| )\end{split}\]

まず時間微分に関する項を考えると、

(23.14)¶\[\begin{split}\partial_0 A^0 =&\int d^3 \VecBF{x}' \frac{1}{4\pi} \frac{1}{ |\VecBF{x} - \VecBF{x}'| } \partial_0 j^0\left(\VecBF{x}', x_0\mp |\VecBF{x} - \VecBF{x}'|\right) \\\end{split}\]

空間成分を考えると、

(23.15)¶\[\begin{split}\partial_k A^k(x) = & \int d^3 \VecBF{x}' \frac{1}{4\pi} \partial_k \left[ \frac{1}{ |\VecBF{x} - \VecBF{x}'|} j^k\left( \VecBF{x}', x_0 \mp |\VecBF{x} - \VecBF{x}'| \right) \right] \\ = & \int d^3 \VecBF{x}' \frac{1}{4\pi} \left[ \partial_k\left(\frac{1}{ |\VecBF{x} - \VecBF{x}'| }\right) j^k(\VecBF{x}', x_0\mp |\VecBF{x} - \VecBF{x}'| ) \mp \partial_k \left(|\VecBF{x} - \VecBF{x}'|\right) \frac{1}{ |\VecBF{x} - \VecBF{x}'| } \partial_0 j^k(\VecBF{x}', x_0\mp |\VecBF{x} - \VecBF{x}'|) \right] \\ = & - \int d^3 \VecBF{x}' \frac{1}{4\pi} \left[ \partial'_k\left(\frac{1}{ |\VecBF{x} - \VecBF{x}'| }\right) j^k(\VecBF{x}', x_0\mp |\VecBF{x} - \VecBF{x}'| ) \mp \partial'_k \left(|\VecBF{x} - \VecBF{x}'|\right) \frac{1}{ |\VecBF{x} - \VecBF{x}'| } \partial_0 j^k(\VecBF{x}', x_0\mp |\VecBF{x} - \VecBF{x}'|) \right] \\ = & - \int d^3 \VecBF{x}' \frac{1}{4\pi} \left[ \partial'_k\left(\frac{1}{ |\VecBF{x} - \VecBF{x}'| }j^k(\VecBF{x}', x_0\mp |\VecBF{x} - \VecBF{x}'| )\right) - \frac{1}{ |\VecBF{x} - \VecBF{x}'| } \partial'_k j^k(\VecBF{x}', x_0\mp |\VecBF{x} - \VecBF{x}'|) \right] \\ = & \int d^3 \VecBF{x}' \frac{1}{4\pi} \left[ \frac{1}{ |\VecBF{x} - \VecBF{x}'| } \partial'_k j^k(\VecBF{x}', x_0\mp |\VecBF{x} - \VecBF{x}'|) \right] \qquad\text{(無限遠での表面積分は0となることを用いた)}\end{split}\]

となるので、

(23.16)¶\[\begin{split}\partial_\mu A^\mu(x) = & \int d^3 \VecBF{x}' \frac{1}{4\pi} \frac{1}{ |\VecBF{x} - \VecBF{x}'| } \left[ \partial_0 j^0\left(\VecBF{x}', x_0\mp |\VecBF{x} - \VecBF{x}'|\right) + \partial'_k j^k(\VecBF{x}', x_0\mp |\VecBF{x} - \VecBF{x}'|) \right] \\ = & 0 \qquad\text{(電荷の保存則}\; \partial_\mu j^\mu = 0 \; \text{を用いた。)} \\\end{split}\]

とローレンツゲージの条件を満たしていることが確認された。

表-23.1 Green 関数の積分経路(CSV-table version)¶
遅延	先進	Feynman
$\ :math:`\omega`\ integration path for \ :math:`D_{ret}`\$	$\ :math:`\omega`\ integration path for \ :math:`D_{adv}`\$	$\ :math:`\omega`\ -integration path for \ :math:`D_{F}`\$
$\omega$-integration path for $D_{ret}$	$\omega$-integration path for $D_{adv}$	$\omega$-integration path for $D_{F}$, Feynman-Green function

表-23.2 Green 関数の積分経路(list-table version)¶
遅延	先進	Feynman
$\ :math:`\omega`\ integration path for \ :math:`D_{ret}`\$	$\ :math:`\omega`\ integration path for \ :math:`D_{adv}`\$	$\ :math:`\omega`\ -integration path for \ :math:`D_{F}`\$
$\omega$-integration path for $D_{ret}$	$\omega$-integration path for $D_{adv}$	$\omega$-integration path for $D_{F}$, Feynman-Green function