22.1. Lagrangeの未定乗数法(method of Lagrange multiplier)
変分問題では、作用積分\(\mathcal{S}\)の極値をあたえる運動をEuler方程式をとくことで、
求める。 力学変数の間に関係(束縛条件)がある場合には、Euler方程式の変分はこの束縛条件を
考慮して変分をとる必要がある。
Lagrangeの未定乗数法では、あらたな変数\(\lambda\)を導入し、もともとの作用にこの
この新たな変数と束縛条件の積を加えた物を新たな作用と考えて、力学変数および\(\lambda\)についての
変分がゼロになる解を求める。
具体的な例でこの方法を解説してみよう。
22.1.1. 問題
三つの変数\(x, y, z\)の関数\(\mathcal{S} = \frac{w_1}{2}\left(x-a\right)^2+\frac{w_2}{2}\left(y-b\right)^2+\frac{w_3}{2}\left(z-c\right)^2\)を束縛条件\(x+y+z=K\)の下で最大とする\(x, y, z\)の値を求めよう。
この場合には、束縛条件は簡単に解けて、問題は、
(22.1)\[\mathcal{S'} = \frac{w_1}{2}\left(x-a\right)^2+\frac{w_2}{2}\left(y-b\right)^2+\frac{w_3}{2}\left(K-x-y-c\right)^2\]
を最大にする \(x, y\)を求めればよい。この解にたいして、\(z\)は\(z=K-x-y\)で与えられる。解くべき方程式は、式式-22.1の変分をとって、
(22.2)\[\begin{split}{w_1}\left(x-a\right)- {w_3}\left(K-x-y-c\right) & == 0
\\
{w_2}\left(y-b\right)- {w_3}\left(K-x-y-c\right) & == 0\end{split}\]
である。\(x,y\)について解くと、
(22.3)\[\begin{split}x = & \frac{{a \left(\frac{1}{w_{2}} + \frac{1}{w_{3}}\right)} + \frac{K - b - c}{w_{1}}}
{\frac{1}{w_{1}} + \frac{1}{w_{2}} + \frac{1}{w_{3}}}
\\
y = & \frac{{b \left(\frac{1}{w_{3}} + \frac{1}{w_{w2}}\right)} + \frac{K - a - c}{w_{2}}}
{\frac{1}{w_{1}} + \frac{1}{w_{2}} + \frac{1}{w_{3}}}
\\\end{split}\]
である。これを束縛条件に代入することで、
(22.4)\[\begin{split}z = & \frac{{c \left(\frac{1}{w_{1}} + \frac{1}{w_{w2}}\right)} + \frac{K - a - b}{w_{3}}}
{\frac{1}{w_{1}} + \frac{1}{w_{2}} + \frac{1}{w_{3}}}
\\\end{split}\]
を得る。
次に未定乗数法を用いた解法を示す。未定乗数を\(\lambda\)として、最大化する量は、
(22.5)\[\begin{split}\tilde{\mathcal{S}} = \frac{w_1}{2}\left(x-a\right)^2+\frac{w_2}{2}\left(y-b\right)^2+\frac{w_3}{2}\left(z-c\right)^2
+ \lambda\left(x + y + z -K\right)
\\\end{split}\]
である。この量の\(x,y,z,\lambda\)についての変分をとることで、方程式
(22.6)\[\begin{split}\left(x - a \right) w_{1} + \mathit{\lambda} & = 0
\\
\left(y - b \right) w_{2} + \mathit{\lambda} & = 0
\\
\left(z - c \right) w_{3} + \mathit{\lambda} & = 0
\\
x + y + z = K
\\\end{split}\]
を得る。これらの方程式のはじめの3本の式をそれぞれ \(w_i\;(i=1..3)\)で割ったのちに和をとり、
第四の式を代入することで、直ちに
(22.7)\[\mathit{\lambda} = \frac{-K + a + b + c}{\frac{1}{w_{1}} + \frac{1}{w_{2}} + \frac{1}{w_{3}}}\]
が導かれる。これを式式-22.5の3本の式に代入すると、先ほどと同じく
(22.8)\[\begin{split}x = & \frac{{a \left(\frac{1}{w_{2}} + \frac{1}{w_{3}}\right)} + \frac{K - b - c}{w_{1}}}
{\frac{1}{w_{1}} + \frac{1}{w_{2}} + \frac{1}{w_{3}}}
\\
y = & \frac{{b \left(\frac{1}{w_{3}} + \frac{1}{w_{w2}}\right)} + \frac{K - a - c}{w_{2}}}
{\frac{1}{w_{1}} + \frac{1}{w_{2}} + \frac{1}{w_{3}}}
\\
z = & \frac{{c \left(\frac{1}{w_{1}} + \frac{1}{w_{w2}}\right)} + \frac{K - a - b}{w_{3}}}
{\frac{1}{w_{1}} + \frac{1}{w_{2}} + \frac{1}{w_{3}}}
\\\end{split}\]
が\(\tilde{\mathcal S}\)の最大値を与える解として求められる。このように、未定乗数法を導入することで、束縛条件のある場合にも見通しよく
解を求めることができる。
22.2. 電磁場の正準方程式
電磁場のラグランジアンは、
(22.9)\[\mathcal{S}= \int dx^0 dx^1 dx^2 dx^3 \left\{ {-\frac{\varepsilon_0}{4}F_{\mu \nu}F^{\mu \nu} + j_\mu A^{\mu}} \right\}\]
である。
通常の正準化の手続きに従って、正準運動量を定義する、ベクトルポテンシャル \(A^k\)の正準運動量 \(\Pi_k\)は、
(22.10)\[\begin{split}\Pi_k(x) \equiv & \frac{\delta \mathcal{S}}{\delta \dot{A^k}(x)}
\\
= & - F_{0k}(x) = - \varepsilon_0 \vec{\mathbf E}_k
\\
= & - \varepsilon_0 \left( - grad \phi - \frac{\partial \vec{\mathbf A}}{\partial t} \right)
\\\end{split}\]
である。 次に、スカラーポテンシャル \(A^0\)の正準運動量\(\Pi_0\)を考えてみる。 しかし、ラグランジアンには \(\dot{A^0}\) は
含まれていないから、
(22.11)\[\Pi_0 \equiv \frac{\delta \mathcal{S}}{\delta \dot{A^0}(x)} = 0\]
となってしまう。これはハミルトニアン形式を考える際には、スカラーポテンシャルは独立な力学変数として取り扱えないことを示している。
ラグランジアンから導かれるEuler方程式についてかんがえると、\(A^0\)の変分から導かれる方程式は、
(22.12)\[\begin{split}0 = & \partial^\mu \frac{\delta{\mathcal S}}{\delta {\partial^\mu A^0}} - \frac{\delta{\mathcal S}}{\delta {A^0}}
\\
=& \partial^k \frac{\delta{\mathcal S}}{\delta {\partial^k A^0}} - \frac{\delta{\mathcal S}}{\delta {A^0}}
\\
=& \partial^k \frac{\delta{\mathcal S}}{\delta {\partial^k A^0}} - \frac{\delta{\mathcal S}}{\delta {A^0}}
\\
= & \varepsilon_0 \partial^kF_{0k} - j_0
\\
= & div \vec{\mathbf E} - \rho\end{split}\]
である。この式は系の時間発展を与えないが、初期条件で満足されていれば、他のMaxwell方程式と全電荷の保存則から、常に成立することがわかる。
ということで、砂川の教科書に従って、4次元ポテンシャルのうち空間成分(ベクトルポテンシャル）だけが力学変数であると考えて、この後の考察をすすめる。
荷電粒子と電磁場が相互作用しているとき、荷電粒子のハミルトニアンは、
(22.13)\[\begin{split}H = & \sqrt{ \left(\vec{\mathbf p} - e \vec{\mathbf A}\right)^2c^2 + m_0^2 c^4 } + e\phi
\\\end{split}\]
であった( 式 式-18.2)。
電磁場部分についてのハミルトニアンを考えると
(22.14)\[\begin{split}\mathcal{H_{EM}} = & \Sigma_k \Pi^k \dot{A^k} - \mathcal{L}_{EM}
\\
= & \vec{\mathbf {\Pi}} \cdot \dot{\vec{\mathbf A}}
- \frac{1}{2}\left( \vec{\mathbf D} \cdot \vec{\mathbf E} - \vec{\mathbf H} \cdot \vec{\mathbf B} \right)
\\
= & \vec{\mathbf {\Pi}} \cdot \varepsilon_0\left(\vec{\mathbf {\Pi}} - grad A^0\right)
- \frac{1}{2}\left( \vec{\mathbf D} \cdot \vec{\mathbf E} - \vec{\mathbf H} \cdot \vec{\mathbf B} \right)
\\
= & \frac{1}{2}\left( \vec{\mathbf{D}} \cdot \vec{\mathbf{E}} + \vec{\mathbf H} \cdot \vec{\mathbf B} \right)
+ \vec{\mathbf {D}} \cdot grad A^0
\\\end{split}\]
この式での最後の項 \(\vec{\mathbf {D}} \cdot grad A^0\)は、粒子と電磁場の相互作用をハミルトニアンのスカラーポテンシャル部分と合わせると
(22.15)\[\begin{split}\rho A^0 + \vec{\mathbf {D}} \cdot grad A^0 = & div \vec{\mathbf D} A^0 + \vec{\mathbf {D}} \cdot grad A^0
\\
= & div \left(\vec{\mathbf {D}} \cdot grad A^0\right)
\\\end{split}\]
と作用積分で部分積分により、表面積分におきかえられるため、全ハミルトニアンをかんがえる場合には、考えなくてよい。
結局、荷電粒子と電磁場が相互作用する系の全ハミルトニアンは、
(22.16)\[\begin{split}\mathcal{H} = & \sqrt{ \left(\vec{\mathbf p} - e \vec{\mathbf A}\right)^2c^2 + m_0^2 c^4 }
\\
+ & \int d^3 x \frac{1}{2}\left( \vec{\mathbf D} \cdot \vec{\mathbf E} + \vec{\mathbf H} \cdot \vec{\mathbf B} \right)
\\\end{split}\]
となる。
ハミルトニアン形式では、系のローレンツ不変性が見えにくくなっている。しかし、この結果自体は、ローレンツ変換に対して不変なラグランジアンから
出発しているので、物理的な結果はローレンツ変換によって不変（なはず）である。
さて、この荷電粒子と電磁場の相互作用している系の運動方程式を全ハミルトニアンから、導くことを考えてみよう。
\(\newcommand\VecBF[1]{\vec{\mathbf{#1}}}\)
(22.17)\[\begin{split}\dot{\VecBF{z}} = & \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \VecBF{p}}
\\
= & \frac{c \left(\vec{\mathbf{p}} - e \vec{\mathbf{A}} \right)}
{\sqrt{\left(\vec{\mathbf{p}} - e \vec{\mathbf{A}} \right)^2 +{m_0}^2 c^2}} \equiv \VecBF{u}
\\ \\
\dot{\vec{\mathbf{p}}} = & - \frac{\partial \mathcal{H}} {\partial \VecBF{z}} =
\\
= & \frac{c \left( \VecBF{p} - e \VecBF{A} \right) \cdot
\left( -e \frac{\partial \VecBF{A}} {\partial \VecBF{z}} \right)}
{ \sqrt{\left(\VecBF{p} - e \VecBF{A} \right)^2 +m_0^2 c^2}}
\\
= & -e c \VecBF{u} \cdot \left(\frac{\partial \VecBF{A}} {\partial \VecBF{z}}\right)
\\
\\
\varepsilon_0\frac{\partial \VecBF{E}}{\partial t} = & \frac{\partial H}{\partial \VecBF{A}}
\\
= & { -\frac{1}{\mu_0}} \mathrm{rot} \VecBF{B} - \VecBF{j}
\\\end{split}\]
ここでの正準化の手順では、 \(A^0\)を力学変数とせずにベクトルポテンシャル\(\vec{\mathbf A}\)だけを電磁場の力学変数とした。
このことは、ゲージ変換の自由度を使って \(A^0 = 0\)のゲージを選んでハミルトニアンを構成したと考えて良い。
もともとゲージ変換は荷電粒子と相互作用する電磁場のラグランジアンに、作用積分において部分積分して0になる項を追加する。
ここでのハミルトニアンの導出においても、同様の項を取り除いている。
(備考)
(22.18)\[\begin{split}c \mathbf{B}_x = & - F_{23},\ c \mathbf{B}_y = - F_{31},\ c \mathbf{B}_z = - F_{12}
\\\\
\mathbf{E}_x =& F_{01},\ \mathbf{E}_y = F_{02},\ \mathbf{E}_z = F_{03}
\\\\
F_{\mu\nu} = & - F_{\nu\mu}
\\\end{split}\]
(22.19)\[\begin{split}\vec{\mathbf u}_i \frac{\partial \vec{\mathbf A}_i}{\partial z_x} = &
\vec{\mathbf u}_x \frac{\partial \vec{\mathbf A}_x}{\partial z_x} +
\vec{\mathbf u}_y \frac{\partial \vec{\mathbf A}_y}{\partial z_x} +
\vec{\mathbf u}_z \frac{\partial \vec{\mathbf A}_z}{\partial z_x}
\\
= & \vec{\mathbf u}_x \frac{\partial \vec{\mathbf A}_x}{\partial z_x} + \vec{\mathbf u}_y \frac{\partial \vec{\mathbf A}_x}{\partial z_y} + \vec{\mathbf u}_z \frac{\partial \vec{\mathbf A}_x}{\partial z_z} +
\vec{\mathbf u}_y \left(\frac{\partial \vec{\mathbf A}_y}{\partial z_x} - \frac{\partial \vec{\mathbf A}_x}{\partial z_y}\right)+
\vec{\mathbf u}_z \left(\frac{\partial \vec{\mathbf A}_z}{\partial z_x} - \frac{\partial \vec{\mathbf A}_x}{\partial z_z}\right)
\\
= & \frac{ d \vec{\mathbf A}_x}{d t} - \vec{\mathbf u}\times \vec{\mathbf B}
\\\end{split}\]
22.3. 電磁場のラグランジアンと未定乗数法
Lorentz ゲージ\(\partial_\mu A^\mu = 0\)での電磁場のLagrangianを未定乗数法を使って、形式化することを考えてみる。
まず、Lorentz gauge 条件を採用する電磁場のラグランジアンとして次の物を考える。
(22.20)\[\begin{split}\mathcal{L} = & -\frac{\varepsilon_0}{4} F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} + j_\mu A^\mu
+ \lambda \left( \partial_\mu A^\mu \right)
\\\end{split}\]
四元ベクトルポテンシャル\(A^\mu\)およびラグランジの未定乗数 \(\lambda\)についてのEuler 方程式:
(22.21)\[\begin{split}\partial^\mu \frac{\delta \mathcal{L}}{\delta \partial^\mu A^\nu} - \frac{\delta \mathcal{L}}{\delta A^\nu} &= 0
\\
\quad&\text{and}\quad
\\
\frac{\delta \mathcal{L}}{\delta \lambda} &= 0
\\\end{split}\]
は、
(22.22)\[\begin{split}\partial^\mu \left(-\varepsilon_0 F_{\mu\nu} + \lambda \eta_{\mu\nu}\right) - j_\nu &= 0
\\
&\text{and}
\\
\partial_\mu A^\mu &= 0
\\\end{split}\]
となる。第一式に第二式のゲージ条件を代入することで、運動方程式およびゲージ条件は、
(22.23)\[\begin{split}\Box A^\mu +\partial^\mu \lambda - j^\mu =0
\\
\partial_\mu A^\mu =0\end{split}\]
となる。第一式の4次元ダイバージェンスをとると、全電荷の保存則から、\(\lambda\)は
(22.24)\[\Box\lambda = 0\]
を満たす。考えている領域の外では \(\lambda = 0\)としてよいから、結局
(22.25)\[\lambda = 0\]
となる。
結局Lorentzゲージでの運動方程式は、
(22.26)\[\begin{split}\mathbf{\Box} A^\mu = j^\mu
\\
\quad\text{and}\quad
\\
\partial_\mu A^\mu = 0
\\\end{split}\]
となる。
22.4. 電磁場のハミルトニアンと未定乗数法
(22.27)\[\begin{split}\mathcal{L} = & -\frac{\varepsilon_0}{4} F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} + j_\mu A^\mu
+ \lambda \left( \partial_\mu A^\mu \right) \\\end{split}\]
から出発して、ハミルトニアンを求めてみる。
3次元のベクトルポテンシャル\(\vec{\mathbf A}\)に対応する正準運動量は、
(22.28)\[\vec{\mathbf \Pi}_k = - \varepsilon_0 \vec{\mathbf E}_k\]
である。 一方、\(A^0\)に対する正準運動量は（radiation Gauge \(div\vec{\mathbf A} = 0\)と異なり）：
(22.29)\[{\mathbf \Pi_0}= =\lambda\]
であることがわかる。
これから、ハミルトニアンを構成すると、
(22.30)\[\begin{split}\mathcal{H} = & {\Pi_0} \dot{A^0} + \vec{\Pi} \cdot \vec{\mathbf{\dot A}} - \mathcal{L}
\\
= & \frac{1}{2}\left( \vec{\mathbf D} \cdot \vec{\mathbf E} + \vec{\mathbf H} \cdot \vec{\mathbf B} \right)
+ \vec{\mathbf {D}} \cdot {\mathrm{grad} A^0} - {\Pi_0}{\mathrm{div} \vec{\mathbf A}}
\\\end{split}\]
となる。このハミルトニアンから正準運動方程式を組み立てると、
(22.31)\[\begin{split}\frac{\partial \VecBF{D}}{\partial t} =& - \frac{\partial \mathcal{H}}
{\partial \VecBF{A}}
\\
= & - \mathrm{rot}\VecBF{B}
\\\end{split}\]