15. ハミルトン形式とハミルトニアン

ラグランジ形式では作用積分は一般化座標 \(q\) とその時間微分 \(\dot{q}\) の関数で あるラグランジアン \(L=L(q, \dot{q})\) を用いて記述された。ラグランジ形式では、一般化座標の座標変換 \(Q=Q(q)\) に対して、運動方程式を与える系統的な方法を与える。

ハミルトン形式では、一般化座標 \(q\) に加え \(q\) の正準共役運動量 \(p\) を導入する。ハミルトン形式では、単なる座標変換では書き表すことができないより広い変換、正準変換にたいして、運動方程式の形式が変わらないことが示される。

15.1. 正準運動量

ラグランジ形式では、最小作用の原理から運動方程式は、

(15.1)\[\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} - \frac{\partial L}{\partial q} = 0\]

であった。

ハミルトン形式に移行するために正準運動量 \(p\) を

(15.2)\[p\equiv\frac{\partial L\left(q, \dot{q}\right)}{\partial \dot{q}}\]

によって定義する。

例えば、相対論的な質点の運動のラグランジアン:

(15.3)\[L(\mathbf{x}, \mathbf{u}) = - m_0 \sqrt{1- \mathbf{u}^2} -e \phi +e \mathbf{A}\cdot\mathbf{u}\]

の場合には、正準運動量 \(\mathbf{p}\) は、

(15.4)\[\mathbf{p} = \frac{m_0\mathbf{u}}{\sqrt{1- \mathbf{u}^2}} + e\mathbf{A}\]

となる。

16. ルジャンドル変換とハミルトニアン

ハミルトニアン形式では系を記述するパラメータは正準座標と正準運動量の組 \(( q, p )\) となる。この時にハミルトン関数(ハミルトニアン) \(H=H(q,p)\) を導入する。

(16.1)\[H(q,p) = p \dot{q} - L\left(q, \dot{q}(q,p)\right)\]

この変換は、熱力学に於ける、全エネルギーとヘルムホルツの自由エネルギの関係

(16.2)\[F(T,V) = U(S,V) -TS\]

と同じくルジャンドル変換によって関係づけられている。

(16.3)\[\begin{split}\delta U(S, V) = T \delta S - P \delta V = \delta (TS) - S\delta T -P \delta V \\ \delta F(T, V) = -S \delta T - P \delta V\end{split}\]

これと同様にして、Hの変分を考えると、

(16.4)\[\begin{split}\delta H = \delta(p \dot{q} - L) \\ = p \delta{\dot{q}} +\dot{q} \delta p - \frac{\partial L}{\partial q}\delta q -\frac{\partial L}{ \partial \dot{q}} \delta \dot{q} \\ = \dot{q}\delta p - \dot p \delta q\end{split}\]

ここで、Eulerの運動方程式と 正準運動量の定義をつかった。

一方

(16.5)\[\delta H = \frac{\partial H}{\partial q}\delta q + \frac{\partial H}{\partial p}\delta p\]

であるから、正準座標に対する運動方程式はハミルトニアンを用いて、

(16.6)\[\dot p = - \frac{\partial H}{\partial q}, \dot{q} = \frac{\partial H}{\partial p}\]

となる。

またこれは、

(16.7)\[\begin{split}\delta L & = \frac{\partial L}{\partial q}\delta q + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\delta \dot{q} \\ & = \dot{p} \delta q + p \delta \dot{q} \\ & = \dot{p} \delta q + \delta\left( p \dot{q} \right) - \dot{q} \delta p\end{split}\]

であるから、自由変数を \((q,p)\) に変換するために

(16.8)\[H(q,p) = p \dot{q} - L(q, \dot{q})\]

を考えるとしても同じで運動方程式が導かれる。

(16.9)\[\begin{split}\delta{H} & = \dot{q} \delta p - \dot{p} \delta q \\ & = \frac{\partial H}{\partial q}\delta q + \frac{\partial H}{\partial p}\delta p\end{split}\]

から、

(16.10)\[\begin{split}\dot{p} = - \frac{\partial H}{\partial q} \\ \dot{q} = \frac{\partial H}{\partial p}\end{split}\]

作用積分は

(16.11)\[S = \int dt \left( p \dot{q} - H(q,p) \right)\]

となる。

17. ポアソンの括弧式

ハミルトン形式での力学変数 \(p,~q\) の関数 \(A(q,p)\) の時間変化を考えると、

(17.1)\[\begin{split}\frac{d A(q,p)}{d t} & = \frac{\partial A}{\partial q}\dot{q} + \frac{\partial A}{\partial p}\dot{p} \\ & = \frac{\partial A}{\partial q}\frac{\partial H}{\partial p} - \frac{\partial A}{\partial p} \frac{\partial H}{\partial q}\end{split}\]

である。ここで、 ポアソンの括弧式 \([f(q,p), g(q,p)]\) を

(17.2)\[[f(q,p), g(q,p)] = \frac{\partial f}{\partial q}\frac{\partial g}{\partial p} -\frac{\partial f}{\partial p}\frac{\partial g}{\partial q}\]

で定義すると、 \(A\) の時間変化は結局

(17.3)\[\frac{d A(q,p)}{d t} = [A, H]\]

とかける。特にHamiltonian \(H\) が陽に時間に依存しない時には、

(17.4)\[\frac{d H(q,p)}{d t} = [H, H] = 0\]

はハミルトニアンの表す物理量(これは系の全エネルギーに他ならない)は保存することがわかる。

これはネータの定理からも系が時間の並進に対して不変な場合には、そのネータ荷電は、

(17.5)\[\begin{split}Q_r \equiv & \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i} } \dot{q_i} -L \right) T_r \\ = & p \dot{q} - L = H(q,p)\end{split}\]

となることからも理解される。また、Hamiltonianは系のエネルギーを表していることはこのことからも理解される。

Poisson括弧式の特別な場合として

(17.6)\[[q,p] = 1\]

は量子力学に於ける交換子積

(17.7)\[[\hat{q}, \hat{p}] = \hat{q} \hat{p} -\hat{p} \hat{q} = \hbar\]

との対応で重要である。

17.1. 相対論的な質点の運動

例えば、相対論的な質点の運動のラグランジアン:

(17.8)\[L(\mathbf{x}, \mathbf{u}) = - m_0 c^2 \sqrt{1- \frac{\mathbf{u}^2}{c^2}} -e \phi +e \mathbf{A}\cdot\mathbf{u}\]

の場合には、正準運動量 \(\mathbf{p}\) は、

(17.9)\[\mathbf{p} = \frac{m_0\vec{\mathbf u}}{\sqrt{1- \frac{\mathbf{u}^2}{c^2}}} + e\vec{\mathbf A}\]

となります。

これからハミルトニアン \(H( p, x) = p u - L( x, u)\)を求めてみます。

相対論的な質点に対してハミルトニアンは

(17.10)\[\begin{split}H\left(\mathbf{x}, \mathbf{p}\right ) = & \sqrt{\left(\mathbf{p} - e \mathbf{A}\right)^2 c^2 + {m_0}^2 c^4} + e \phi \\\end{split}\]

となる。

運動方程式は

(17.11)\[\begin{split}\mathbf{\dot{x}} = & \vec{\mathbf u} = \frac{\partial H}{\partial \mathbf{p}} \\ = & \frac{\left(\mathbf{p} - e \mathbf{A}\right) c^2}{\sqrt{\left(\mathbf{p} - e \mathbf{A}\right)^2 c^2+ {m_0}^2 c^4}}\\ \mathbf{\dot{p}} = & - \frac{\partial H}{\partial \mathbf{x}} \\ = & e \frac{\left(\mathbf{p} - e \mathbf{A}\right)c^2}{\sqrt{\left(\mathbf{p} - e \mathbf{A}\right)^2 c^2 + {m_0}^2 c^4}} \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial \mathbf{x}} - e \frac{\partial \phi}{\partial \mathbf{x}}\end{split}\]

で、これを整理すると、結局これまでの与えられた電磁場中での相対論的な質点の運動方程式が再現される。

18. ハミルトニアンの導出

まず、

(18.1)\[\begin{split}\sqrt{1 - \mathbf{u}^2/c^2} = \frac{ m_0 c}{\sqrt{\left(\mathbf{p} - e \mathbf{A}\right)^2 + m_0^2c^2}} \\ \vec{\mathbf p} - e \vec{\mathbf A} = \frac{m_0 \vec{\mathbf u}}{1- \frac{{\mathbf u}^2}{c^2}} \\ \left(\vec{\mathbf p} - e \vec{\mathbf A}\right)^2 + m_0^2 c^2 =\frac{m_0^2 c^2}{1 -\frac{{\mathbf u}^2}{c^2}} \\ \vec{\mathbf u} = \left(\vec{\mathbf p} - e \vec{\mathbf A} \right) \frac{c}{\sqrt{\left(\mathbf{p} - e \mathbf{A}\right)^2 + m_0^2c^2}}\end{split}\]

に注意すると、ハミルトニアンは、

(18.2)\[\begin{split}H = & \vec{\mathbf p} \vec{\mathbf u} - L \\ = & \left(\vec{\mathbf p} - e \vec{\mathbf A}\right)\vec{mathbf u} +m_0 c^2 \sqrt{{1 -\frac{{\mathbf u}^2}{c^2}}}+ e\phi \\ = & \frac{c \left(\vec{\mathbf p} - e \vec{\mathbf A}\right)^2} {\sqrt{\left(\vec{\mathbf p} - e \vec{\mathbf A}\right)^2 + m_0^2c^2}} + \frac{ m_0^2 c^3}{\sqrt{\left(\vec{\mathbf p} - e \vec{\mathbf A}\right)^2 + m_0^2c^2}} + e\phi \\ = & \sqrt{ \left(\vec{\mathbf p} - e \vec{\mathbf A}\right)^2c^2 + m_0^2 c^4 } + e\phi \\\end{split}\]