14. ラグランジアンとネータの定理¶
連続パラメータを持つ変換に対して作用積分あるいはラグランジアンが不変な場合、対応する保存量が あることがネータの定理によって示される。
14.1. ネーターの定理¶
一般化座標の変換
(14.1)¶\[\begin{split}\delta q_i = \omega_{i}^r \epsilon_r
\\
\delta t = T^r \epsilon_r\end{split}\]
を考える。ここで\(\omega_{i}^r\)は変換を特徴づける構造定数、\(\epsilon_r\)は変換の大きさを示すパラメータである。
これに対する作用積分の変化を求めてみる。 この時、 運動方程式から
(14.2)¶\[\frac{\partial L}{\partial t} = \frac{d}{dt}\left( L - \frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}} \dot{q_i}\right)\]
が成り立つことに注意する。 これより、
(14.3)¶\[\begin{split}\delta L & = \left( \frac{\partial L}{\partial q_i} \delta q_i
+ \frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}} \delta \dot{q_i}
+ \frac{\partial L}{\partial t} \delta t \right)
\\
& = \left( \frac{d\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}}{dt} \delta q_i
+ \frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}} \delta \dot{q_i}
+ \frac{\partial L}{\partial t} \delta t \right)
\\
& = \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}} \delta q_i\right)
+ \frac{d}{dt}\left( L - \frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}} \dot{q_i}\right) {\delta t }
\\
& = \frac{d}{dt}\left[ \frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}} \omega_i^r
+ \left(L - \frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}} \dot{q_i}\right) T_r\right] \epsilon_r = 0\end{split}\]
となる。
これより量 \(Q_r\) を
(14.4)¶\[Q_r \equiv \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i} } \dot{q_i} -L \right) T_r -
\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}} \omega_i^r\]
で定義すると、上の式はこの量\(Q_r\)が保存される(時間的に変化しない)ことを示している。
このように、系が無限小変換式-14.1に対して普遍のとき、式式-14.4で定義される量\(Q_r\)は保存量となる。これをネーターの定理とよぶ。
14.1.1. 全運動量の保存¶
空間座標の無限小平行移動：
(14.5)¶\[\omega^k_i = -\delta_{ki}\]
を考えます。これに対する保存量は、
(14.6)¶\[\begin{split}P_k = & - \frac{\partial L}{\partial \dot{x_i}}\delta_{ki}
\\
= & p_k\end{split}\]
となり、全運動量が保存されることがわかります。
14.2. 場の理論におけるネーターの定理¶
電磁場などの場を含む系のネータの定理も証明されている。場の理論では、力学変数は時空の各点に割り当てられた場の量そのものとなる。このため、変分も 関数による微分をかんがえることになる。
場を \(\phi(x)\) とし、そのラグランジアンを、 \(L=L(\phi,\partial_\mu \phi,x)\) とする。この時、場の方程式は、
(14.11)¶\[\frac{\delta L}{\delta \phi} -\partial_\mu\frac{\delta L}{\delta \partial_\mu \phi} = 0\]
である。
(14.12)¶\[x_\mu \rightarrow x_\mu + \epsilon_\mu\]
に対して作用積分の変化は、
(14.13)¶\[\begin{split}\delta S &= \int d^4x \frac{\partial L}{\partial x_\mu}\epsilon^\mu\\
&= \int d^4x \eta_{\mu\nu}\frac{\partial L}{\partial x_\nu} \epsilon^\mu\end{split}\]
一方、系は明示的に座標を含まないのであるから、
(14.14)¶\[\begin{split}\delta S&=\int d^4x \left( \frac{\delta L}{\delta \phi}{\partial_\mu \phi}\epsilon^\mu
+ \frac{\delta L}{\delta {\partial_\nu \phi}} \partial_\mu\partial_\nu\phi\epsilon^\mu\right) \\
&=\int d^4x \partial_\nu \left( \frac{\delta L}{\delta {\partial_\nu \phi}}\partial_\mu\phi\right)\epsilon^\mu\end{split}\]
これより、
(14.15)¶\[\int d^4x \partial^\mu \left( \frac{\delta L}{\delta {\partial^\mu \phi}}\partial_\nu\phi- \eta_{\mu\nu} L\right )\epsilon^\nu =0\]
が成り立つことがわかる。ここで、
(14.16)¶\[T_{\mu\nu} = \frac{\delta L}{\delta {\partial^\mu \phi}}\partial_\nu\phi - \eta_{\mu\nu} L\]
を定義する。この時、
(14.17)¶\[\partial^\mu T_{\mu\nu}=0\]
が成り立っている。
(14.18)¶\[P_\mu \equiv \int dv T_{0\mu}\]
で四次元ベクトル \(P_\mu\) を定義すると、この四次元ベクトルが保存されることがわかる。
(14.19)¶\[P_0 = \int dv T_{00} = \int dv \left(\frac{\delta L}{\delta {\dot\phi}}\dot\phi - L\right)\]
はハミルトニアンに他ならず、 \(P_\mu\) はエネルギー・運動量ベクトルを与える。
(14.20)¶\[\begin{split}\frac{d P_\mu }{d t} &= \int d v \frac{\partial T_{0\mu}}{\partial t} \\
&= - \int d v \frac{\partial T_{k\mu}}{\partial x_k} = - \int d{S}^k T_{k\mu} = 0\end{split}\]