Maxwellの電磁場方程式の成功は、それが予言する
電磁場を伝える仮想的な存在であるエーテルを
発見しようとする、多様な実験を実現させました。
このエーテル存在証明の試みは、様々な仮説を
引き出しましたが、十分に満足な説明はEinsteinによる
特殊相対性理論を待たなければなりませんでした。
この章では、ニュートンの運動方程式では成り立っていた
Galileo Galilei の相対性原理が、マクスウェル方程式の登場に
よってアインシュタインの特殊相対性理論に発展していった経緯について学びます。
2.1. ニュートンの運動方程式とガリレイの相対性原理
19世紀後半の物理学者はニュートン力学(1687)とMaxwell方程式(1864)に
よる電磁気学の両立に頭を悩ませていました。
この問題を現在の視点で述べると、ニュートン力学は Galileo Galilei の相対原理
を満たしているが、Maxwell方程式はそうではなく、 Galileo Galilei の
相対原理を満たすためにはMaxwell方程式に変更を加える必要があるということでした。
しかも、行われた実験は変更前のMaxwell方程式を支持するという結果を示していました。
この問題は、Einsteinが提唱した特殊相対性理論によって、修正を受けるのは
Newtonの力学であって、Maxwell方程式ではないことが示される事で、解決されました。
この節ではニュートン力学での Galileo Galilei の相対性原理と
Galileo Galilei の相対性原理を満たすのに必要なMaxwell方程式
への変更について述べます。
ガリレイの相対原理は、全ての等速度運動している座標系
は等価であることを要求します。すなわち、等速運動している
座標系では座標系に依らず、同形式の物理法則が成立すること(共変性)を
要求します。
実際,ニュートンの運動方程式:
(2.1)\[ m \frac{d^2 x}{dt^2 } = f\;,\]
はガリレイ変換:
(2.2)\[\begin{split}\left\{ \begin{split}
x' =& x - v t \,,
\\
t' =& t \,,
\end{split}\right.
\\
\begin{cases}
x = & x' + v t' \,,
\\
t = & t' \,,
\end{cases}\end{split}\]
に対して不変となります。実際、粒子の位置\(x_p(t)\)を考えると、
(2.3)\[\begin{split}x_p'(t') =& x_p(t) - v t {},\\
\frac{d x_p'(t')}{d t'} =& \frac{d x_p(t)}{d t} - v {},\\
\frac{d^2 x_p'(t')}{d t'^2 } =& \frac{d}{d t}\left(\frac{d x_p(t)}{d t} - v \right) \\
= & \frac{d^2 x_p}{d t^2} {},\\\end{split}\]
ですから、二つの系で運動方程式は同じ形となります。
ところが、Maxwellによる電磁気の基礎方程式:
(2.4)\[\begin{split}\left\lbrace\begin{split}
\nabla \cdot \vec{\boldsymbol{D}} & = \rho \\
\nabla \times \vec{\boldsymbol{H}} - \frac{\partial\vec{\boldsymbol{D}}}{\partial t}
& = \vec{\boldsymbol{j}} \\
\nabla \cdot \vec{\boldsymbol{B}} & = 0 \\
\nabla \times \vec{\boldsymbol{E}}\, + \frac{\partial\vec{\boldsymbol{B}}}{\partial t} & = \vec{\boldsymbol{0}} \\
\end{split}\right.\\
{\text ここで、} {\boldsymbol B} = \mu_0 {\boldsymbol H},\ {\boldsymbol E} &= \frac{1}{\varepsilon_0} {\boldsymbol D},\ \varepsilon_0 \mu_0 = \frac{1}{c^2}\end{split}\]
は等速運動をする座標系(慣性系)の間の座標変換が、上記のガリレイ変換だとすると、これに対して共変的ではありません。
(x系の諸量で書き下した方程式とx'系の諸量で書き下した方程式が同じ形にはならない。Hertzの方程式 参照)
つまり、座標およびベクトル場が Galilei変換に従うとして変換を行うと、変換後の電磁場の方程式は、速度を陽に含んだ異なる式になってしまいます。
2.1.1. 演習：
ガリレイ変換に対して、Maxwell方程式がどのように変換されるか、考えて見ましょう。
\({\boldsymbol v} = \left(\begin{matrix} v_x, 0, 0\end{matrix}\right)\)として、各成分ごとに
計算すれば良いでしょう。
2.1.1.1. ヒント（？）
Herzの方程式[ 砂川[A-5] 第10章 式 1.29-33]]を参照
2.1.1.2. 微分についての公式:
\(x\)方向へ並進については、Galilei変換を使うと、
(2.5)\[\begin{split}\left\lbrace
\begin{array}{cc}
\frac{\partial}{\partial t'} = & \frac{\partial x}{\partial t'}\frac{\partial}{\partial x} +\frac{\partial t}{\partial t'}\frac{\partial}{\partial t}
= +v \frac{\partial}{\partial x} + \frac{\partial}{\partial t}\\
\frac{\partial}{\partial x'} = &
\frac{\partial x}{\partial x'}\frac{\partial}{\partial x} +\frac{\partial t}{\partial x'}\frac{\partial}{\partial t}
= \frac{\partial}{\partial x} \\
\frac{\partial}{\partial y'} =& \frac{\partial}{\partial y}\,,\qquad \frac{\partial}{\partial z'} = \frac{\partial}{\partial z}
\end{array}\right.\end{split}\]
となる。一般の並進 \(\vec{v}\)については、
(2.6)\[\begin{split}\frac{\partial}{\partial t'} = \frac{\partial}{\partial t} + \vec{v}\cdot\nabla, \\
\frac{\partial}{\partial x'} = \frac{\partial}{\partial x}, \quad
\frac{\partial}{\partial y'} = \frac{\partial}{\partial y}, \quad
\frac{\partial}{\partial z'} = \frac{\partial}{\partial z}\end{split}\]
となります。
2.1.2. ベクトル積の公式:
(2.7)\[\begin{split}{\boldsymbol A}\cdot\left({\boldsymbol B}\times{\boldsymbol C}\right) = {\boldsymbol B}\cdot\left({\boldsymbol C}\times{\boldsymbol A}\right)
= {\boldsymbol C}\cdot\left({\boldsymbol A}\times{\boldsymbol B}\right)
\\
\\
{\boldsymbol A}\times\left({\boldsymbol B} \times {\boldsymbol C}\right) =
\left( {\boldsymbol A}\cdot{\boldsymbol C}\right){\boldsymbol B}
- \left({\boldsymbol A}\cdot{\boldsymbol B}\right){\boldsymbol C}
\\
\\
{\boldsymbol A}\times\left({\boldsymbol B} \times {\boldsymbol C}\right) + \, {\boldsymbol B}\times\left({\boldsymbol C} \times {\boldsymbol A}\right)
+ {\boldsymbol C}\times\left({\boldsymbol A} \times {\boldsymbol B}\right)
= 0\end{split}\]
特に、外積微分を含む関係式
(2.8)\[\begin{split}\nabla \times \left( {\boldsymbol A} \times {\boldsymbol B} \right) =
+ \left(\nabla \cdot {\boldsymbol B} \right) {\boldsymbol A} + \left({\boldsymbol B} \cdot \nabla\right) {\boldsymbol A}\\
- \left(\nabla \cdot {\boldsymbol A} \right) {\boldsymbol B} - \left({\boldsymbol A} \cdot \nabla\right) {\boldsymbol B}\end{split}\]
を使うと、
(2.9)\[\nabla \times \left( {\boldsymbol v} \times {\boldsymbol B} \right) =
+ \left(\nabla \cdot {\boldsymbol B} \right) {\boldsymbol v}
- \left({\boldsymbol v} \cdot \nabla\right) {\boldsymbol B}\]
だから、
(2.10)\[\begin{split}\frac{\partial {\boldsymbol B}}{\partial t'} = & \frac{\partial{\boldsymbol B}}{\partial t} + \left(\vec{v}\cdot\nabla\right) {\boldsymbol B}, \\
= & \frac{\partial {\boldsymbol B}}{\partial t} - \nabla \times {\boldsymbol v} \times {\boldsymbol B} + {\boldsymbol v}\left(\nabla \cdot {\boldsymbol B}\right)\end{split}\]
2.1.3. 解答：Hertzの方程式
電磁場と荷電分布および電流については二つの系での量の間に、
(2.11)\[\begin{split}\vec{\boldsymbol{D'}}(x',t') =& \vec{\boldsymbol{D}}(x,t) \\
\vec{\boldsymbol{H'}}(x',t') =& \vec{\boldsymbol{H}}(x,t) \\
\vec{\boldsymbol{E'}}(x',t') =& \vec{\boldsymbol{E}}(x,t) \\
\vec{\boldsymbol{B'}}(x',t') =& \vec{\boldsymbol{B}}(x,t) \\
\rho'(x',t') =& \rho(x,t) \\
\vec{\boldsymbol{j'}}(x',t') =& \vec{\boldsymbol{j}}(x,t) \\\end{split}\]
の関係があると仮定します。つまり、同じ時空点の量は二つの系で見ても変わらないとします。
この時、Maxwell方程式式-2.4の二つの式については、上記の微分規則から二つの系でその方程式の形が保たれることがわかります。
(2.12)\[\begin{split}\left\lbrace\begin{split}
\nabla' \cdot \vec{\boldsymbol{D'}} -\rho' = & \nabla \cdot \vec{\boldsymbol{D}} -\rho = 0 , \\
\nabla' \cdot \vec{\boldsymbol{B'}} =& \nabla \cdot \vec{\boldsymbol{B}} = 0 . \\
\end{split}\right.\\\end{split}\]
次に, 式-2.4の第4式(ファラデー -- マックスウェルの法則）
(2.13)\[\begin{split}\nabla \times {\boldsymbol E'}(t',{\boldsymbol x'})+{\frac {\partial {\boldsymbol B'}(t',{\boldsymbol x'})}{\partial t'}} &=0\\\end{split}\]
の左辺は 式-2.9を使えば、
(2.14)\[\nabla' \times {\boldsymbol E'} + {\frac{\partial {\boldsymbol B'}}{\partial t'}} =
\nabla \times {\boldsymbol E }+{\frac {\partial {\boldsymbol B}} {\partial t}}
- \nabla\times \left({\boldsymbol v} \times {\boldsymbol B} \right)
+ {\boldsymbol v} \left(\nabla \cdot {\boldsymbol B}\right) \,,\]
です。\(\nabla \cdot {\boldsymbol B}=0\)を使えば、観測系\(K\)では、
(2.15)\[\nabla \times {\boldsymbol E }+{\frac {\partial {\boldsymbol B}} {\partial t}} -\nabla\times\left({\boldsymbol v} \times {\boldsymbol B} \right) = 0\]
が成り立たつことになります。同様に、Maxwell方程式式-2.4の第2式
(2.16)\[\nabla' \times \vec{\boldsymbol{H'}} - \frac{\partial\vec{\boldsymbol{D'}}}{\partial t'} - \vec{\boldsymbol{j'}} =0\]
は、
(2.17)\[\nabla\times\vec{\boldsymbol{H}} - \vec{\boldsymbol{j}} - \frac{\partial\vec{\boldsymbol{D}}}{\partial t}
+ \nabla\times \left({\boldsymbol v} \times {\boldsymbol D} \right) - {\boldsymbol v} \rho = 0 \,.\]
となります。ここで、\(\nabla \cdot {\boldsymbol D} =\rho\)を使いました。
これらの結果をまとめた、観測系\(K\)での電磁場の方程式は、Hertzの方程式と呼ばれます。
(2.18)\[\begin{split}\nabla \cdot \vec{\boldsymbol{D}} = & \rho \,,\\
\nabla\times\vec{\boldsymbol{H}} -\frac{\partial\vec{\boldsymbol{D}}}{\partial t} = &
- \nabla\times \left({\boldsymbol v} \times {\boldsymbol D} \right) + \left(\vec{\boldsymbol{j}} + {\boldsymbol v} \rho\right) \,,\\
\nabla \cdot \vec{\boldsymbol{B}} = & 0 \,, \\
\nabla \times {\boldsymbol E }+{\frac {\partial {\boldsymbol B}} {\partial t}} = & \nabla\times\left({\boldsymbol v} \times {\boldsymbol B} \right)\end{split}\]
この方程式によれば、電磁場についてMaxwellの方程式が成り立つ特別の座標系が存在し、その特別の座標系に対して等速運動している系では電磁場はHertzの方程式に
従うことになります。逆に、電磁場の現象を観測することによって、Hertzの方程式の速度を知ることができるはずです。
しかしながら、Hertzの方程式に基づき、この係数（速度）を決める試みは成功しませんでした。これを解決したのはEinsteinの特殊相対性理論ということになります。
2.1.4. 荷電密度、電流の変換法則
Maxwell方程式から、電荷と電流に関する連続の方程式：
(2.19)\[\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \vec{\boldsymbol{j}} = 0\]
が成り立つことがわかります。 よく知られている様に、これは電荷の保存則に他なりません。
Hertzの方程式式-2.18の第二式の最後の項\(\left(\vec{\boldsymbol{j}} + {\boldsymbol v} \rho\right)\)は
観測系\(K\)での電流が電荷の移動による電流とオームの法則などによる電流の和であると解釈することも可能です。
\(K\)での全電流\(\boldsymbol{\hat j}\)を
(2.20)\[\begin{split}\boldsymbol{\hat j} \equiv & \boldsymbol{\vec{j'}} + \boldsymbol{\vec{v}} \rho' \\\end{split}\]
で定義すると、移動系の連続の方程式から
(2.21)\[\begin{split}\frac{\partial \rho'}{\partial t'} + \nabla \cdot \boldsymbol{\vec{j'}} = & \frac{\partial \rho}{\partial t} +\boldsymbol{\vec{v}}\cdot\nabla\rho
+\nabla \cdot \boldsymbol{\vec{j}} \\\end{split}\]
(2.22)\[\begin{split}= & \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \left(\vec{\boldsymbol{j}}+\boldsymbol{\vec{v}}\rho\right) \\\end{split}\]
(2.23)\[\begin{split}= & \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \boldsymbol{\vec{\hat{j}}} = 0\\\end{split}\]
と静止系での連続方程式が成り立つことがわかります。この時、オームの法則は、電荷分布の移動による成分を除いた電流について、成り立ちます。
(2.24)\[\boldsymbol{\vec{\hat{j}}} - \rho \boldsymbol{\vec{v}} = \sigma \boldsymbol{\vec{E}}\]
2.3. 特殊ローレンツ変換
光速度不変の原理を満たすためには、静止系 K と 慣性系 K’ の変換はGaliei変換と言う訳には行きません。
(2.26)\[x^2- c^2 t^2= x'^2 - c^2 t'^2\]
を満たす(線形な)変換式は、変換のパラメータ \(\phi\) を用いて
(2.27)\[\begin{split}\left\lbrace\begin{split}
x' &= \cosh\phi\ {x} - \sinh\phi\ {c t} \\
{c t'} &= -\sinh\phi\ {x} + \cosh\phi\ {c t} \\
\end{split}\right. \\
\\
\left\lbrace\begin{split}
x &= \cosh\phi\ {x'} + \sinh\phi\ {c t'} \\
{c t} &= \sinh\phi\ {x'} + \cosh\phi\ {c t'} \\
\end{split}\right. \\\end{split}\]
とかけます。慣性系K'の原点(\(x'=0\))は静止系で見て速度 \(v\) で動いていますから、
(2.28)\[\begin{split}x &= \sinh \phi\ {c t'} = \tanh \phi\ {c t} \\
t &= \cosh \phi\ {t'}\end{split}\]
より、
(2.29)\[\begin{split}v&= c \tanh \phi \\
\cosh \phi &= \frac{1}{\sqrt{1 - (v/c)^2}} \\
\sinh \phi &= \frac{v/c}{\sqrt{1 - (v/c)^2}}\end{split}\]
です。 \(\beta\) および \(\gamma\) を
(2.30)\[\begin{split}\beta &\equiv v/c = \tanh\phi \\
\gamma &\equiv \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}} = \cosh\phi\end{split}\]
で定義すると、変換式は
(2.31)\[\begin{split}\left\{
\begin{array}{ll}
x' &= \gamma\left( x - \beta c t \right) \\
t' &= \gamma\left( t - \beta x/c \right)
\end{array}
\right.\\
\left\{
\begin{array}{ll}
x &= \gamma\left( x' + \beta c t' \right) \\
t &= \gamma\left( t' + \beta x'/c \right)
\end{array}
\right.\end{split}\]
となります。
2.4. おまけ：EinsteinによるLorentz変換の導出。
ここでは、Einsteinの著書 "Relativity The Spacialn and the Gneral Theory" (1916, 15th ed.1952) [A-6] に従って、
相対性原理（慣性系はお互いに等価であって、同じ物理現象を観測すれば、同じ結果を得る。)
および光速度不変の原理からLorentz変換が導かれる事を示します。
議論を簡単にするために、時空は時間 \(t\)と空間 \(x\)の2次元に限って考えます。
一般の座標系は、お互いの運動方向への回転を行う事によって、この場合にを考えれば十分であることは直ちに了解されます。
相対速度\(v\)で運動している二つの慣性系\(K\)および\(K'\)の座標系の変換規則
として、次の線形の関係が成り立つとします。
(2.32)\[\begin{split}\left\lbrace \begin{array}{cc}
x' &= A x + B (c t) \\
ct' &= C (c t) + D x \\
\end{array} \right.\end{split}\]
まず、光の軌跡を考えると、それは
(2.33)\[x = c t\]
あるいは、
(2.34)\[x - c t = 0\]
と表されます。光速度不変の原理から、慣性系\(K\)で軌跡が光速度のものであれば、
慣性系\(K'\)においても、軌跡が光速度で動いているものとなることが結論されます。
つまり、\(x - c t =0\)が成り立つ時、もう一方の座標系でみても、
\(x' - c t' =0\)が結論されるためには、二つの座標系の変換規則は、次の関係式：
(2.35)\[ x' - c t' = \lambda \left(x - c t\right)\]
を満たす必要があります。また、これら二つの慣性系で、反対向きに走る光を観測する事を
考えると、変換規則は、
(2.36)\[ x' + c t' = \mu \left(x + c t\right)\]
も満たす必要があります。
これらの式を変形する事で、二つの慣性系の間の座標の変換規則は、
(2.37)\[\begin{split}\left\lbrace \begin{array}{cc}
x' &= a x - b c t \\
ct' &= a c t - b x \\
\end{array} \right.\end{split}\]
と表せる事になります。
ここで、変換の係数\(a,b\)は前述の係数\(\mu, \lambda\)を使って
次の様に定義されます。
(2.38)\[\begin{split}a = \frac{\lambda + \mu}{2} \\
b = \frac{\lambda - \mu}{2}\end{split}\]
今慣性系\(K'\)は 静止系\(K\)に対して、速度\(v\)で移動していると
します。この時、\(K'\)の原点\(O' (x' = 0)\)は\(K\)でみた時、
速度\(v\)で移動しています。上記の変換規則から、\(O'\)を座標系\(K\)で観測した座標は、
(2.39)\[x' = 0 = a x - b c t\]
を満たしますから、変換係数と二つの慣性系の速度\(v\)の間には、
(2.40)\[v =\frac{b}{a} c\]
なる関係があることがわかります。
この関係を使うと、座標の変換規則は、
(2.41)\[\begin{split}\left\lbrace \begin{array}{cc}
x'=& a \left(x - \frac{v}{c} c t \right) \\
ct'=& a \left(c t - \frac{v}{c} x \right)\\
\end{array} \right.\end{split}\]
となります。
この変換係数\(a\)を決めるために、Einsteinに従いそれぞれの系に
固定された長さ\(L_0\)の棒ををもう一方の系で観測した時の棒の長さについて考えてみます。
相対性原理を使うと、\(K'\)に固定された棒を\(K\)で測定した時の棒の長さ\(L\)と
\(K\)に固定された棒を\(K'\)で測定した時の棒の長さ\(L'\)とは同じであるはずです。
このことから、変換の係数\(a\)が定められることをみて行きます。
棒が静止している系で、棒の一端は原点に、棒のもう一端は 空間座標が\(L_0\)の所にあるとします。
\(K'\)に静止した棒を、\(K\)で時刻\(t=0\)で観測すると、
\(K\)での棒の長さ\(L\)は、変換規則から、
(2.42)\[\begin{split}L_0 = a L\\
\text{あるいは}\\
L = \frac{L_0}{a}\end{split}\]
であることが導かれます。
今度は逆に\(K\)に固定された棒の両端を\(K\)で時刻\(t' = 0\)で観測した場合を考えます。
今度は、
(2.43)\[\begin{split}\left\lbrace \begin{array}{cc}
L' =& a \left(L_0 - v t \right) \\
0 =& a \left(c t - \frac{v}{c} L_0 \right)\\
\end{array} \right.\end{split}\]
ですから、
(2.44)\[\begin{split}L' &= a \left(1 - \frac{v^2}{c^2} \right) L_0\\\end{split}\]
となることがわかります。先ほどものべた様に、相対性原理から\(L' = L\)です。
結局、
(2.45)\[\begin{split}1 =& a^2 \left(1 - \frac{v^2}{c^2} \right) \\
&\text{すなわち}\\
a=&\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}\end{split}\]
と変換係数\(a\)が定まります。
これを使うと、変換規則は、Lorentz変換
(2.46)\[\begin{split}\left\lbrace \begin{array}{cc}
x' &= \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \left(x - \frac{v}{c} c t \right) \\
ct' &= \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \left(c t - \frac{v}{c} x \right)\\
\end{array} \right.\end{split}\]
に他ならないことが判ります。
