3. Minkowski 空間と運動法則の共変性
特殊相対性理論の原理を採用すると、慣性系の間の座標の相互変換
については、
(3.1)\[\begin{split}(x^0, x^1, x^2, x^3) = &(ct, x, y, z) \\
\eta_{\mu\nu}= \eta_{\nu\mu} = &\left(\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & -1 & 0 & 0\\
0 & 0 & -1 & 0\\
0 & 0 & 0 & -1
\end{array}
\right)\end{split}\]
の４次元の時空を考えるのが便利です。これをMinkowski 空間と呼びます。
(ここでの座標および計量テンソルの符号の定義は、"Relativistic Quantum Fields", J.D. Bjorken & S.D Drell, McGraw-Hill, Inc. 1965にしたがっています。Bjorken & Drellではさらに \(\hbar = 1, c = 1\) としているが、ここではそれらは明示的に残すことにします。)
この四次元空間の点を表すベクトル \(x^\mu\) を反変ベクトル(contravariant vector) と呼びます。
これに共役な共変ベクトル(covariant vector)を
(3.2)\[x_\mu = \eta_{\mu\nu} x^\nu\]
で定義します。
添字の足( \(\mu\) )などについては、Einsteinの規約(アインシュタインの縮約記法とも)、すなわち「同じ添字が一つの式にペアで現れたばあいには、これらの添字について、和をとる」を採用します。
つまり、
(3.3)\[x_\mu = \eta_{\mu\nu} x^\nu = \sum_{\nu=0}^3 \eta_{\mu\nu} x^\nu\]
です。
Lorentz変換は
(3.4)\[\begin{split}s^2 =& ({x^0})^2 - ({x^1})^2 - ({x^2})^2 - ({x^3})^2\\
=& \eta_{\mu\nu} x^\mu x^\nu\\
=& \eta^{\mu\nu} x_\mu x_\nu\\
=& x^\mu x_\mu\end{split}\]
を不変にする線形変換として定義されます。これに
(3.5)\[x'^\mu =\sum_{\nu=0}^3 {a^\mu}_\nu x^\nu = {a^\mu}_\nu x^\nu\]
を代入すると、
(3.6)\[\begin{split}s^2 =& \eta_{\mu\nu} x^\mu x^\nu = \eta_{\mu\nu} x'^\mu x'^\nu \\
=& \eta_{\mu\nu} {a^\mu}_\rho x^\rho {a^\nu}_\sigma x^\sigma \\
=& \eta_{\rho\sigma} {a^\rho}_\mu x^\mu {a^\sigma}_\nu x^\nu\end{split}\]
です。これが任意の\(x_mu\)について成立することから、Lorentz変換の係数 \({a^\mu}_\nu\) は次の関係式を満たします。
(3.7)\[\begin{split}\eta_{\mu\nu} = \eta_{\rho\sigma}{a^\rho}_\mu {a^\sigma}_\nu \\
\delta^\mu_\nu = \eta^{\mu\lambda}\eta_{\sigma\rho}{a^\rho}_\lambda {a^\sigma}_\nu\end{split}\]
ここで、\(\delta^\mu_\nu\equiv \eta^{\mu\rho}\eta_{\rho\nu}\)は \(\mu=\nu\)の時に1、それ以外では0となる単位テンソルです。
ここで、 \({a_\mu}^\nu\) を次の様に定義します。
(3.8)\[{a_\mu}^\nu \equiv \eta^{\nu\lambda} \eta_{\rho\mu} {a^\rho}_\lambda\]
すると以下が成り立つことは容易にわかります。
(3.9)\[\begin{split}{a_\mu}^\nu \equiv \eta_{\mu\rho} \eta^{\nu\sigma} {a^\rho}_\sigma \\
\delta^\mu_\nu = {a_\sigma}^\mu {a^\sigma}_\nu \\
{a_\nu}^\mu x'^\nu= {a_\nu}^\mu {a^\mu}_\sigma x^\sigma = x^\mu\end{split}\]
この \({a_\mu}^\nu\) を使うと共変ベクトルのローレンツ変換は、
(3.10)\[\begin{split}\left\lbrace\begin{array}{cc}
x_\mu =& \eta_{\mu\nu}x^\nu\\
\eta^{\mu\nu} x_\nu =& \eta^{\mu\nu}\eta_{\nu\rho}x^\rho = x^\mu
\end{array}\right.\end{split}\]
から、
(3.11)\[\begin{split}x'_\mu = \eta_{\mu\nu}x'^\nu \\
= \eta_{\mu\nu}{a^\nu}_\rho \eta^{\rho\sigma}x_\sigma \\
= {a_\mu}^\nu x_\nu\end{split}\]
と書けることがわかります。
反変ベクトルによる微分操作もMinkowski空間の四次元ベクトルとして表現されます。
(3.12)\[\begin{split}\partial_\mu =& \frac{\partial}{\partial x'^\mu} \\
=& \frac{\partial x^\nu}{\partial x'^\mu}\frac{\partial}{\partial x^\nu} \\
=\end{split}\]
スカラー量、ベクトルは次の様に変換されます。
(3.13)\[\begin{split}\phi'(x') = \phi(x)\\
{v'(x')}^\mu = {a^\mu}_\nu {v(x)}^\nu\end{split}\]
スカラ量の微分は次のように共変ベクトルとして変換されます。
(3.14)\[\begin{split}\frac{\partial \phi'}{\partial x'^\mu}=\frac{\partial x^\nu}{\partial x'^\mu} \frac{\partial \phi'}{\partial x^\nu} \\
= {a_\mu}^\nu \frac{\partial \phi}{\partial x^\nu} \\\end{split}\]
(3.15)\[\frac{\partial \phi'}{\partial x'^\mu} = \partial'_\mu \phi'(x')\]
と書けば、
(3.16)\[\partial'_\mu \phi'(x') = {a_\mu}^\nu \partial_\nu \phi(x)\]
テンソル \(T^{\mu\nu}\) はローレンツ変換に対して
(3.17)\[T'^{\mu\nu}(x') = {a^\mu}_\rho {a^\nu}_\sigma T^{\rho\sigma}(x)\]
と変換される量と定義されます。
運動法則が共変的であるとすれば、その運動方程式の両辺は同じ変換性を持った量(例えばスカラー、ベクトル、テンソル）で表されるはずです。
またその逆に、運動方程式の両辺が同じ変換性を持った諸量で書き表されるなら、その運動方程式が示す運動法則は変換に対して共変です。
(物理法則の共変性は、「ある特定の座標系を選ぶと運動法則が簡単に書き表せるということがない」を意味していいます。つまり、
全ての座標系は平等であるということですね。)